【正文】 aabaxaxxF10)(均勻分布的分布函數(shù)為 xo)(xF?a ?b?1 67 信息管理學(xué)院 徐曄 均勻分布的意義 ,),( Xba 變量上服從均勻分布的隨機在區(qū)間.),(性是相同的內(nèi)的可能中任意等長度的子區(qū)間落在區(qū)間 baxo)(xf?a ?bab?1????? lablp???????l 68 信息管理學(xué)院 徐曄 例 2 某公共汽車站從上午 7時起 , 每 15分鐘來一 班車 , 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等時刻有汽車到達 此站 , 如果乘客到達此站時間 X 是 7:00到 7:30之 間的均勻隨機變量 , 試求他候車時間少于 5分鐘的 概率 . 解 以 7:00為起點 0, 以分為單位 , 依題意 ~X ),30,0(U????? ???其它,0300,301)( xxf 69 信息管理學(xué)院 徐曄 解 以 7:00 為起點 0, 以分為單位 , 依題意 ~X ),30,0(U????? ???其它,0300,301)( xxf為使候車時間少于 5 分鐘 , 乘客必須在 7:10 到 7:15 之間 , 或在 7:25 到 7:30 之間到達車站 , 故所 求概率為 }3025{}1510{ ????? XPXP31301301 30251510 ??? ?? dxdx即乘客候車時間少于 5分鐘的概率是 1/3. 70 信息管理學(xué)院 徐曄 例 3 設(shè)隨機變量 X 在 [ 2, 5 ]上服從均勻分布 , 現(xiàn) 對 X 進行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值 大于 3 的概率 . X 的分布密度函數(shù)為 ????? ???.,0,52,31)(其他xxf { X 3 } 表示“對 X 的觀測值大于 3 的概率” , 解 }2{ ?YP .2720?因而有 設(shè) Y 表示 3次獨立觀測中觀測值大于 3的次數(shù) , 則 .32,3~ ??????BY?????? ???????? 32132223C0333 32132 ?????? ???????? C,32d31}3{ 53 ??? ? xXP由于 71 信息管理學(xué)院 徐曄 X的密度函數(shù)為 )(~ ?EX記為則稱 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 ?為常數(shù)0000)( ??????? ? ?? ?xxexf xO x?)( xf)(xf 的幾何圖形如圖 . 注： 指數(shù)分布常用來描述對某 一事件發(fā)生的等待時間 .例如 ， 乘客在公交車站等車的時間，電子元件的壽命等， 因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應(yīng)用 . 72 信息管理學(xué)院 徐曄 ???????? ???? 0001)()(xxedttfxF xx ?指數(shù)分布的重要作用 ,是常用它來作為各種“壽命”的近似 ,如通訊、保險、隨機服務(wù)系統(tǒng)等方面 )(~,0 ?EXa ?設(shè) aeaF ????? )(1}{ aXP ?3. 分布 (略 ) ?易求得 X 的分布函數(shù) 為常數(shù)0000)( ??????? ? ?? ?xxexf x 73 信息管理學(xué)院 徐曄 例 4 某保險公司想開展一種新的壽險業(yè)務(wù)，被保險人需一次性繳納保費 1000元，若被保險人在 10年內(nèi)死亡，保險公司將賠負 5000元，假設(shè)人的壽命服從參數(shù)為 1/65的指數(shù)分布 .試幫保險公司做出決策 . 解 假設(shè)某人的壽命為 X 65/1)(~ ??? ，則 EX假設(shè)某人投保時年齡超過 S歲 則此人再活 10年以上的概率為 }|10{ sXsXP ???}{}10{sXPsXsXP????? ?}{}10{sXPsXP????ssee??????)10( ?10?? e8 5 7 ? 74 信息管理學(xué)院 徐曄 因此，被保險人在 10年內(nèi)死亡的概率為 }|10{1 sXsXP ???? 1 4 2 5 7 ???所以保險公司對該被保險人的預(yù)期收益為 *5000=287(元 ) 結(jié)論 :保險公司可以開展這種保險業(yè)務(wù) . }|10{ sXsXP ??? ?10?? e }10{ ?? XP一般化 }|{ sXtsXP ??? ?te?? }{ tXP ??在已活 s年的基礎(chǔ)上 ,再活 t年的概率等于壽命大于 t年的概率 . 指數(shù)分布永遠年輕 75 信息管理學(xué)院 徐曄 作業(yè) P63 練習(xí) 1 2 4 信息管理學(xué)院 徐曄 正態(tài)分布 一、正態(tài)分布 的 密度函數(shù)及其特點 二、 標準正態(tài)分布 三、一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系 77 信息管理學(xué)院 徐曄 ).,(~,)0(,eπ21)(22)(22σμNXσμXσσμxσxfXσμx記為的正態(tài)分布或高斯分布服從參數(shù)為則稱為常數(shù)其中的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機變量定義??????????一、正態(tài)分布 的 密度函數(shù)及其特點 78 信息管理學(xué)院 徐曄 正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征 。 隨機變量的定義 定義 ：設(shè)隨機試驗 E的樣本空間是 Ω={w}，如果對于每一個 w∈ Ω，有一個實數(shù) X(w)與之對應(yīng)，且對任何一個實數(shù) 是隨機事件，這樣就得到一個定義在 Ω上的 單值實值 函數(shù) X=X(w)，稱X=X(w)為 隨機變量 , 簡記為 X。,212121xFxFxxxx???????? 都有且即對? ? ? ?21F x F x??? ?12 0P x X x? ? ?(3) F(x) 右連續(xù)，即 ? ?000 l i m ( ) ( )xxF x F x F x????(2) ()F ?? ? ? ?limx Fx? ?? ? ?limx Fx? ??()F ?? ?0? 1?）（ ??????? xxXPxF ),()( 17 信息管理學(xué)院 徐曄 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個 X 的分布函數(shù) . 也就是說，性質(zhì) (1)(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某 的分布函數(shù)的充分必要條件 . 18 信息管理學(xué)院 徐曄 例 4 判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù) ? (1) ????????????0,1。0)(,)3( ???? xfx 時當。}3|{| ??? ??X1)(2}|{|),1,0(~ ??? xxXPNX ? 98 信息管理學(xué)院 徐曄 服從正態(tài)分布 的隨機變量 X 落在區(qū)間 內(nèi)的概率為 ，落在該區(qū)間外的概率只有 說 ,X幾乎不可能在區(qū)間 之外取值。 正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸 :直徑、長度、重量 高度等都近似服從正態(tài)分布 . 正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 83 信息管理學(xué)院 徐曄 正態(tài)分布下的概率計算 tσxF x σμtdeπ21)( 222)(? ?????? }{ xXP ???原函數(shù)不是 初等函數(shù) 方法 二 :轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布查表計算 方法一 :利用統(tǒng)計軟件計算 84 信息管理學(xué)院 徐曄 ).1,0(,1,0),( 2NσμσμN記為態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正這樣時中的當正態(tài)分布 ??標準正態(tài)分布的概率密度表示為 ,eπ21)( 22?????? ? xxx?標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為 .,deπ21)( 22??????? ???? xtx x t二、 標準正態(tài)分布 85 信息管理學(xué)院 徐曄 標準正態(tài)分布的圖形 86 信息管理學(xué)院 徐曄 ,eπ21)( 22?????? ? xxx?)()(,)(.1 xxyx ??? ??軸對稱曲線關(guān)于是偶函數(shù)標準正態(tài)分布具有如下特點 }0{)0(.2 ?? XP? ?)(1)(.3 xx ?? ???}{)( xXPx ????? }{ xXP ??}{1 xXP ???)(1}{1 xxXP ?????? 88 信息管理學(xué)院 徐曄 1)(2}|{|.4 ??? xxXP ?}{}|{| xXxPxXP ????? )()( xx ??? ??1)(2 ?? x?)(2))(1(2}|{|.5 xxxXP ????? ??}|{|1}|{| xXPxXP ????)(1)(.3 xx ?? ???))(1()( xx ?? ???)(2))(1(2 xx ???? ??}|{|1 xXP ???)1)(2(1 ??? x? 89 信息管理學(xué)院 徐曄 例 1 求以下概率已知 ),1,0(~ NX}{)1( ?XP}{)2( ?XP}{)3( ??XP)(?? = )(1 ??? = = )(??}{ ?? XP = 1)(2 ?? ?}|{|)4( ?XP}{)5( ??? XP}|{|)6( ?XP= 2*= )()( ??? ??))(1()( ?? ??? = += ))(1(2 ??? = 2*()= 1)(2}|{|.4 ??? xxXP ? )(2))(1(2}|{|.5 xxxXP ????? ?? 91 信息管理學(xué)院 徐曄 例 2 .),1,0(~ 解下列方程已知 NX}{)1( ?? xXP)( ?x? 0?x9 7 }{)2( ?? xXP)( ?x? ?x}{)3( ?? xXP)( ?x? 6 4 ??)( ?? x?}|{|)4( ?? xXP))(21(2 ?? x? ?)( ?x?)(2))(1(2}|{|.5 xxxXP ????? ?