概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(6)(已修改)
2025-05-11 12:04 本頁(yè)面
【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究 隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn) 才能呈現(xiàn)出來(lái)。所以，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，就應(yīng)該對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行 大量的觀測(cè) 。 研究隨機(jī)現(xiàn)象的大量觀測(cè)，常采用極限形式，由此導(dǎo)致了極限定理的研究。極限定理的內(nèi)容很廣泛，最重要的有兩種： “大數(shù)定律” 和 “中心極限定理” 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)的觀測(cè)， 各種結(jié)果的出現(xiàn)的頻率 具有穩(wěn)定性。 大數(shù)定律 大量地?cái)S硬幣 正面出現(xiàn)頻率 字母使用頻率 生產(chǎn)過(guò)程 中廢品率 切比雪夫不等式 ? 定理 : 設(shè)隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望E(X)=? ， 方差 D(X)=? 2， 則對(duì)任給的 ε 0, 有 ? ?22| | 1PX????? ? ? ?? ?22 ,PX????? ? ?或 估計(jì)不等式 在隨機(jī)變量 X的 分布未知 的情況下，只利用 X的期望和方差，即可對(duì) X的概率分布進(jìn)行估計(jì)。 證明： 只對(duì) X 是連續(xù)型情況加以證明。 設(shè) X 的概率密度函數(shù)為 f(x)，則有 ? ?| | | | ( )xP X f x d x??????? ? ? ?放大被積函數(shù) ? ? 22| | ()xxf x d x???????? ?放大積分區(qū)間 ? ?221 ()x f x d x?????????由切比雪夫不等式可以看出：若 越小 ,則事件 {|XE(X)|≤ε }的概率越大，即 隨機(jī)變量 X 集中在期望附近的可能性越大 . 2?22221 ( ) ( )x f x d x ????????? ? ??切比雪夫不等式用于：估計(jì)概率、 證明不等式。 .1)20(???????? XPX證明：的泊松分布，服從參數(shù)為例：設(shè))()20( ??? ????? XPXP證明：21 ?DX??21 ????22??? ???? 1??切比雪夫不等式的應(yīng)用 例： 已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是 7300，均方差是 700，利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在 5200~9400之間的概率。 解： 設(shè) X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù)，則 ? ? ? ? 27 3 0 0 , 7 0 0E X D X??? ? ? ?5 2 0 0 9 4 0 0 7 3 0 0 2 1 0 0P X P X? ? ? ? ?? ?21 2100DX?? 181 99? ? ?設(shè)隨機(jī)變量 X的方差為 ，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率 ? ?? ?7 . 5P X E X??? ?? ? 22 .5 17 .5 7 .5 2 2 .5P X E X? ? ? ?答： 幾個(gè)常見的大數(shù)定律 ? 定理 1： 切比雪夫大數(shù)定律 11l im 1niniPXn??? ? ????? ? ?????? 設(shè)隨機(jī)變量序列 X1, X2, … 相互獨(dú)立，具有相同的期望和方差 :E(Xi)=? , D(Xi) =? 2 (i=1, 2, … ) ，則對(duì)任意的 ε 0，有 11l i m 0niniPXn??? ? ????? ? ??????或 者記 ? ? ? ?? ? ? ?112211
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