概率論與數(shù)理統(tǒng)計總復習(已修改)
2025-05-11 12:14 本頁面
【正文】 例 1 設(shè) X 具有概率密度 , 求 Y=X2 的概率密度 . )( xfX)( yXyP ????當 y0 時 , )()( yYPyFY ?? )( 2 yXP ??)(xFX)( yFY解 設(shè) Y 和 X 的分布函數(shù)分別為 和 ， )()( yFyF XX ???? ? ? ?YF y P Y y??0)()(0,02 ?????? yYPyFyXY Y時有，故當注意到? ????????????0,00,)()(21)()(yyyfyfydyydFyf XXYY求導可得 若 exxf X 2221 ???)(則 Y=X2 的概率密度為： ??????????0,00,21)(221yyyf eyyY ?, x? ? ? ? ? ?分布的自由度為 21 ? 從上述兩例中可以看到，在求 P(Y≤y) 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法 從 { g(X) ≤ y }中解出 X, 從而得到與 {g(X) ≤ y }等價的 X 的不等式 . 例如，用 代替 {2X+8 ≤ y } { X } ?28?y用 代替 { X2 ≤ y } }{ yXy ??? 這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應的概率 . 這是求 . 一臺電子設(shè)備內(nèi)裝有 5個某種類型的電子管，已知這種電子管的壽命（單位：小時）服從參數(shù)為 1000 的指數(shù)分布。如果有一個電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為 95%，兩個電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率是 70%，若兩個以上的電子管損壞，則設(shè)備不能正常工作。求這臺電子設(shè)備在正常工作 1000小時后仍能正常工作的概率。（設(shè)各電子管工作相互獨立） 設(shè)有甲、乙、丙 3門炮，同時獨立向某目標射擊，命中率分別為 , , ,目標被命中 1發(fā)炮彈而被擊落的概率為,目標被命中 2發(fā)炮彈而被擊落的概率為 ,目標被命中 3發(fā)炮彈而被擊落的概率為 ,求 : (1)3門炮在 1次射擊中擊落目標的概率 (2)在目標被擊落的條件下 ,是由甲炮擊中的概率 . 解：設(shè) X 表示電子管壽命， Y 表示 5個電子管使用 1000小時后損壞的個數(shù)。則 )1 0 0 0(),5(~ ?? XPppbY 其中又設(shè)： A=“電子設(shè)備在正常工作 1000小時后仍能正常工作” ????????其他,00,1 0 0 01)(1 0 0 0 xexfx? ???? ?1 0 0 001 0 0 0 10001)1000( dxeXPp x005( 0) ( 1 ) 5 Y C p p? ? ? ? )1()1( 415 ???? ppCYP1 9 )1()2( 3225 ???? ppCYP由全概率公式，有 )2|()2()|()1()0|()0()( ????????? YAPYPYAPYPYAPYPAP)3|()3( ??? YAPYP2 0 9 5 0 6 ????????解：設(shè) A， B， C分別表示甲、乙、丙 3門炮擊中目標 D：表示目標被擊落 3,2,1,0, ?? iiHi 次目標被擊中則： )(,)(,)( ??? CPBPAP)|(,)|(,)|( 321 ??? HDPHDPHDP)()()()( 1 ???? CBAPCBAPCBAPHP)()()()( 2 ???? BCAPCBAPCABPHP)()( 3 ?? A B CPHP（ 1）由全概率公式 ??????????31)|()()(iii HDPHPDP（ 2）由貝葉斯公式 )()|()()()()|(DPCBADPCBAPDPDCBAPDCBAP ?? ?0 5 5 ?????M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布 設(shè) X， Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分 布函數(shù)分別為 FX(x) 和 FY(y),我們來求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù) . FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 X 和 Y 相互獨立 ,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函數(shù)為 : =P(X≤z)P(Y≤z) FM(z) 1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù) 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) Mz? XzYz??? ???即有 FN(z)= 1[1FX(z)][1FY(z)] =1P(Xz,Yz) FN(z)=P(N≤z) =1P(Nz) 2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù) Nz? XzYz??? ???由于 X 和 Y 相互獨立 ,于是得到
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