概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末習(xí)題(已修改)
2025-08-17 08:41 本頁(yè)面
【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末習(xí)題 第四 章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第五章 大數(shù)定律集中心極限定理 第六章 樣本及抽樣分布 第七章 參數(shù)估計(jì) 目錄 1 2 3 4 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 4.（ 1） 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 說(shuō)明 X的數(shù)學(xué)期望不存在 。 ? （ 2） 一盒中裝有一只黑球 ， 一只白球 ， 作摸球游戲 ， 規(guī)則如下：一次從盒中隨機(jī)摸一只球 ， 若摸到白球 ， 則游戲結(jié)束；若摸到黑球放回再放入一只黑球 ， 然后再?gòu)暮兄须S機(jī)地摸一只球 ， 試說(shuō)明要游戲結(jié)束的摸球次數(shù) X的數(shù)學(xué)期望不存在 。 ? 解： (1)因級(jí)數(shù) 不絕對(duì)收斂 ， 按定義 X的數(shù)學(xué)期望不存在 。 (2)以 記事件 “ 第 k次摸球摸到黑球 ” ， 以 記事件 “ 第 k次摸球摸到白球 ” ， 以 表示事件 “ 游戲在第 k次摸球時(shí)結(jié)束 ” ， k=1,2,...依題意得 ,...,2,1,32}3)1({ 1 ???? ? jjXP jjj????????????????????1111111)1(232*3)1(}3)1({3)1(jjjjjjjjjjjjjjXPjkA kAkCkkk AAAAC 121 ... ??)()() . . ....()...()( 1122211121 APAAPAAAAPAAAAPCP kkkkk ????? X=k時(shí) ， 盒中共有 k+1只球 ， 其中只有一只白球 ， 故 若 E(X)存在 ， 則它等于 ， 但 故 X的數(shù)學(xué)期望不存在 。 kkkkkkkAPAAPAAAAPAAAAPAAAPkXPkkkkkk1112132...12111)()() . . ....()...()...()(112221112111??????????????????????? ?1 )(k kXkP????????? ??? ?????? 111 11111)(kkk kkkkkXkP? 6.(1)設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 求 E(X),E( ), E( ) ? (2)設(shè) 求 ? 解： (1) (2)因 故 X 2 0 2 P 2X 53 2?X),(~ ??X )11( ?XE)(3)53()2()()2()(222222?????????????????????XEXEXEXE),(~ ??X !}{ kekXP k ?? ???)1(1)1()1!()!()!1()!1(!11}{11)11(0101000?????????????????????????????????????????????????????????????eeejejekekekekkXPkXEjjjjkkkkkkk? 7.(1)設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 求 Y=2X。Y= 的數(shù)學(xué)期望 。 ? (2)設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立 ， 且都服從 （ 0,1） 上的均勻分布 ， 求 ? 和 的數(shù)學(xué)期望 ? 解： (1)由關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理 ， 知 ? (2)因 的分布函數(shù)為 因 相互獨(dú)立 ， 故 的分布函數(shù)為 ?????? ?000)(xxexf x xe2?nXXX ,..., 21},...,m ax { 21 nXXXU ? },...,m in { 21 nXXXV ?31)()()(2)(2)2()(22 ????????????????dxxfeeEYEdxxxfXEYExxii XniUX ,...,2,1),1,0(~ ???????????1,110,0,0)(xxxxxFnXXX ,..., 21 },...,m ax { 21 nXXXU ???????????1,110,0,0)(uuuuuF nU? U的概率密度為 ? 的分布函數(shù)為 ? V的概率密度為 ??? ??? ?其他,010,)( 1 unuuf nU?? ????? ???? 10 1 1)()( n ndunuuduuufUE nU},...,m in { 21 nXXXV ?????????????1,110,)1(10,0)(vvvvvF nV??? ???? ?其他,010,)1()( 1 vvnvf nV?? ?????? ???? 10 1 11)1()()( ndvvnvdvvvfVE nV? 9.(1)設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為 求 E(X),E(Y),E(XY), ? E( ) ? (2)設(shè)隨機(jī)變量 X,Y的聯(lián)合密度為 求 E(X),E(Y),E(XY) ? 解： (1) ??? ????其他,010,12),( 2 xyyyxf22 YX ?????? ??? ??其他,00,0,1),( )/(
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