【正文】 2022/3/14 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象 數(shù)量規(guī)律的一門(mén)學(xué)科。 3 ?第一章 概率論的基本概念 ? 隨機(jī)試驗(yàn) ? 樣本空間 ? 概率和頻率 ? 等可能概型（古典概型） ? 條件概率 ? 獨(dú)立性 ?第二章 隨機(jī)變量及其分布 ? 隨機(jī)變量 ? 離散型隨機(jī)變量及其分布 ? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 ? 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 ?第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 ? 二維隨機(jī)變量 ? 邊緣分布 ? 條件分布 ? 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ? 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 4 ? 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 數(shù)學(xué)期望 ? 方差 ? 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) ? 矩、協(xié)方差矩陣 ? 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 ? 大數(shù)定律 ? 中心極限定理 ? 第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 ? 總體和樣本 ? 常用的分布 5 ? 第七章 參數(shù)估計(jì) ? 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ? 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) ? 區(qū)間估計(jì) ? 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) ? 假設(shè)檢驗(yàn) ? 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) ? 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) ? 置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系 ? 樣本容量的選取 ? 分布擬合檢驗(yàn) ? 秩和檢驗(yàn) ? 第九章 方差分析及回歸分析 ? 單因素試驗(yàn)的方差分析 ? 雙因素試驗(yàn)的方差分析 ? 一元線性回歸 ? 多元線性回歸 6 ? 第十章 隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述 ? 隨機(jī)過(guò)程的概念 ? 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述 ? 泊松過(guò)程及維納過(guò)程 ? 第十一章 馬爾可夫鏈 ? 馬爾可夫過(guò)程及其概率分布 ? 多步轉(zhuǎn)移概率的確定 ? 遍歷性 ? 第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 ? 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ? 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 7 概 率 論 8 關(guān)鍵詞： 樣本空間 隨機(jī)事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨(dú)立性 第一章 概率論的基本概念 9 167。 1 隨機(jī)試驗(yàn) ? 確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定 ? 不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定 確定性現(xiàn)象 不確定性現(xiàn)象 ——確定 ——不確定 ——不確定 自然界與社會(huì)生活中的兩類(lèi)現(xiàn)象 例： 向上拋出的物體會(huì)掉落到地上 明天天氣狀況 買(mǎi)了彩票會(huì)中獎(jiǎng) 10 概率統(tǒng)計(jì)中研究的對(duì)象：隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱(chēng)為 隨機(jī)試驗(yàn)。 它具有以下特性： 1. 可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行 2. 事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果 3. 進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生 例： ? 拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果； ? 對(duì)某路公交車(chē)某?？空镜怯浵萝?chē)人數(shù)； ? 對(duì)某批電子產(chǎn)品測(cè)試其輸入電壓； ? 對(duì)聽(tīng)課人數(shù)進(jìn)行一次登記； 11 167。 2 樣本空間 隨機(jī)事件 (一 )樣本空間 定義：隨機(jī)試驗(yàn) E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱(chēng)為 E的 樣本空間 ，記為 S={e}， 稱(chēng) S中的元素 e為 基本事件 或 樣本點(diǎn) ． S={0,1,2,?} ； S={正面，反面 }； S={(x,y)|T0≤y ≤x≤T 1}； S={ x|a≤x≤b } ? 記錄一城市一日中發(fā)生交通事故次數(shù) 例： ? 一枚硬幣拋一次 ? 記錄某地一晝夜最高溫度 x，最低溫度 y ? 記錄一批產(chǎn)品的壽命 x 12 (二 ) 隨機(jī)事件 一般我們稱(chēng) S的子集 A為 E的 隨機(jī)事件 A，當(dāng)且僅當(dāng) A所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生稱(chēng)事件 A發(fā)生。 S＝ {0,1,2,?} ； ?記 A＝ {至少有 10人候車(chē) }＝ {10,11,12,?} S ， A為隨機(jī)事件， A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。 例： 觀察 89路公交車(chē)浙大站候車(chē)人數(shù)， 如果將 S亦視作事件，則每次試驗(yàn) S總是發(fā)生， 故又稱(chēng) S為 必然事件 。 為方便起見(jiàn)，記 Φ為 不可能事件 ， Φ不包含 任何樣本點(diǎn)。 13 (三 ) 事件的關(guān)系及運(yùn)算 ? 事件的關(guān)系（包含、相等） 例： ? 記 A={明天天晴 }， B={明天無(wú)雨 } ? 記 A={至少有 10人候車(chē) }， B={至少有 5人候車(chē) } ? 一枚硬幣拋兩次， A={第一次是正面 }， B={至少有一次正面 } 2 ABAB BA??? ? ??＝1 A B A B? ：事件 發(fā)生一定導(dǎo)致 發(fā)生BA??BA??BA??S A B 14 ? 事件的運(yùn)算 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?或 ： 與 至少有一發(fā)生。121121,ninininiA A A AA A A A????????： 至少有一發(fā)生： 同時(shí)發(fā)生S B A S A B S B A AB?? A與 B的和事件，記為 ,A B A B A B??? A與 B的積事件，記為 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?且 ： 與 同時(shí)發(fā)生。? 當(dāng) AB=Φ時(shí)，稱(chēng)事件 A與 B不相容的，或互斥的。 15 ? “和”、“交”關(guān)系式 1211nni i niiA A A A A??? ＝；1211nni i niiA A A A A???? ；AB?AB?A B AB??A B A B??S A B AS A { | }A B A B x x A x B? ? ? ? ?且? , A A S A B SA A A BABAA? ?? ???? ????? ??的 記為 , 逆事件 互若 , 稱(chēng) 逆、互斥? 例：設(shè) A={ 甲來(lái)聽(tīng)課 }， B={ 乙來(lái)聽(tīng)課 } ，則： {甲、乙至少有一人來(lái) } {甲、乙都來(lái) } {甲、乙都不來(lái) } {甲、乙至少有一人不來(lái) } 16 167。 3 頻率與概率 (一 )頻率 定義：記 其中 —A發(fā)生的次數(shù) (頻數(shù) )； n— 總試驗(yàn)次 數(shù)。稱(chēng) 為 A在這 n次試驗(yàn)中發(fā)生的 頻率 。 例： ? 中國(guó)國(guó)家足球隊(duì)，“沖擊亞洲”共進(jìn)行了 n次，其中成功了一次，則在這 n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 ? 某人一共聽(tīng)了 17次“概率統(tǒng)計(jì)”課，其中有 15次遲到，記 A={聽(tīng)課遲到 }，則 頻率 反映了事件 A發(fā)生的頻繁程度。 An() n AfAn n? ；()nfA1n；( ) 15 17 88 %nfA ??()nfA試驗(yàn) 序號(hào) n =5 n =50 n =500 nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 表 1 例：拋硬 幣 出 現(xiàn) 的正面的 頻 率 18 實(shí)驗(yàn) 者 n nH fn(H) 德 ?摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 K?皮爾遜 12022 6019 K?皮爾遜 24000 12022 表 2 19 ** 頻率的性質(zhì)： 且 隨 n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為 p． ()nfA12111 0 ( ) 12 ( ) 13 , ( ) ( )nnk kk n i n iiifAfSA A A f A f A?????? ?。 。 。 若 , ?, 兩兩互不相容，則 20 (二 ) 概率 定義 1： 的穩(wěn)定值 p定義為 A的概率，記為 P(A)=p 定義 2：將概率視為測(cè)度，且滿足： 稱(chēng) P(A)為事件 A的 概率 。 ()nfA1 0 ( ) 1PA??。 2 ( ) 1PS ?。 12113 , ( ) ( )k kk i iiiA A A P A P A??? ?。 若 , ?, 兩兩互不相容，則 21 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B P B A P B P A P B P A? ? ? ? ? ?，若 則有 3 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ?概率的加法公式：1 ( ) 1 ( )P A P A??性質(zhì)： AAS? ( ) ( ) 1P A P A? ? ? ( ) 0P? ? ?B A A B? ( ) ( ) ( )P B P A P A B? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) 0P B P A P A B P B A? ? ? ? ? ?( ) ( )P B P??()A B A B A B?? ( ) ( ) ( )P A B P A P B A B? ? ? ?2 ( ) ( ) ( )B A B P B A B P B P A B? ? ? ?。又 ，由 知( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ? ?3 。 的推廣 ：1111121( ) ( ) ( )( ) ( 1 ) ( )n ni i i ji i j nini j k ni j k nP A P A P A AP A A A P A A A? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ????( ) 0( ) 1P A AP A A S? ? ? ?? ? ?不能 ；不能 ；22 167。 4 等可能概型（古典概型） 定義：若試驗(yàn) E滿足： (有限性 ) (等可能性 ) ? ? APA S?? 所包含的樣本點(diǎn)數(shù) 中的樣本點(diǎn)數(shù)稱(chēng)這種試驗(yàn)為 等可能概型 (或古典概型 )。 23 例 1：一袋中有 8個(gè)球，編號(hào)為 1－ 8，其中 1－ 3 號(hào)為紅球， 4－ 8號(hào)為黃球，設(shè)摸到每一 球的可能性相等，從中隨機(jī)摸一球， 記 A={ 摸到紅球 }，求 P(A)． 解： S={1,2,?,8} A={1,2,3} ? ? 38PA??24 例 2：從上例的袋中不放回的摸兩球， 記 A={恰是一紅一黃 }，求 P(A)． 解： 1 1 23 5 815( ) / 5 3 . 6 %28P A C C C? ? ?( ) / , 0 , 1 , ,k n k nk D N D NP A C C C k n????0LmC ?（注：當(dāng) Lm或 L0時(shí)，記 ） 例 3：有 N件產(chǎn)品，其中 D件是次品，從中不放 回的取 n件， 記 Ak＝ {恰有 k件次品 }，求 P(Ak)． 解： 25 例 4：將 n個(gè)不同的球，投入 N個(gè)不同的盒中 (n≤N )，設(shè)每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限， 記 A＝ { 恰有 n個(gè)盒子各有一球 }，求 P(A)． 解： n 1 2 N ① ② …… ② 1 2 N ① ② ① 1 2