概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)(已修改)
2025-05-25 01:22 本頁(yè)面
【正文】 第五節(jié) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征： 每次試驗(yàn)都在相同條件下進(jìn)行； 每次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的； 每次試驗(yàn)有有限個(gè)確定的結(jié)果； 如果試驗(yàn)共進(jìn)行 n次，稱為 n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) . 每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同； 比如：多次擲骰子； 產(chǎn)品有放回地抽樣檢驗(yàn)。 如果每次試驗(yàn)的結(jié)果 有且僅有兩種： ， AA和 ( ) , ( ) 1 .P A pP A p q?? ? ?且稱為 n重伯努利試驗(yàn) . 貝努利 (1700—1782) 瑞士 下面我們來(lái)研究 n重伯努利 試驗(yàn)中事件 A發(fā)生 k次的概率。 例 1 設(shè)在 10件產(chǎn)品中有 1件廢品，現(xiàn)進(jìn)行 3次有放回的抽樣檢查，求抽得 2件廢品的概率。 iA ?解 設(shè) “第 次抽取時(shí)抽到廢品” iB? “共抽得 2件廢品” 1 2 3 1 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P AP A P A P A???1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )P A A A P A A A P A A A? ? ?1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )P B P A A A A A A A A A? ? ?1 2 3 1 2 3 1 2 3B A A A A A A A A A? ? ??9991 1 1 1 1 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0? ? ?22391()1 0 1 0C例 1 設(shè)在 M件產(chǎn)品中有 N件廢品，現(xiàn)進(jìn)行 n次有放回 的抽樣檢查，求抽得 k件廢品的概率。 ()PB ? knCiA ?解 設(shè) “第 次抽取時(shí)抽到廢品” iB? “共抽得 k件廢品” ()kNM ( 1 ) nkNM ?? n 重伯努利試驗(yàn)中事件 A恰好出現(xiàn) k 次的概率簡(jiǎn)記為 b ( k； n， p） . 則 b ( k； n， p）＝ Cnk pk qn－ k. 例 2 一條自動(dòng)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級(jí)品率為 ，檢查 10件，求至少有兩件一級(jí)品的概率 P(B)。 解：這是 n＝ 10的 10重伯努利試驗(yàn)， p＝ 依題意 ()PB ? 1 0 0 1 010C 0 . 6 0 . 4? 1910 0 .6 0 .4C?? ?例 3 向單位圓中隨機(jī)拋入 3個(gè)點(diǎn)，求這 3個(gè)點(diǎn)中恰有 2個(gè)點(diǎn)落在第 1象限的概率。 解 拋入 3個(gè)點(diǎn)相當(dāng)于 3重貝努利試驗(yàn)， 所求概率為 ()PB ?3個(gè)點(diǎn)中恰有 2個(gè)點(diǎn)落在第 1象限的事件記為 B 22331( ) ( )44C 964?由幾何概率，點(diǎn)落在第 1象限的概率為 1/4 思考 彩票投注點(diǎn)的門口有一副對(duì)聯(lián) : “多買少買多少要買，早中晚中早晚要中 ” 每次開獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為 而堅(jiān)持十年，從未中獎(jiǎng)的概率為 0 5 0 5 52 0 5 52 0520 ( 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) ? ? ?? ? ? ?每年按 52周算，則十年中獎(jiǎng) 1次的概率為 510?1 5 5 51 9520 10 ( 1 10 ) 05 17C ?? ??你如何理解“ 早晚要中 ”？ 假定每周開獎(jiǎng)一次， 每次中獎(jiǎng)的概率為十萬(wàn)分之一， 趣例 “驚人的預(yù)測(cè)” 一天，喬治在自己的郵箱中發(fā)現(xiàn)一封陌生的郵件，他好奇地打開了它：“親愛的球迷，我們的統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)設(shè)計(jì)了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)足球比賽的方法。今晚英國(guó)足球杯第三場(chǎng)考文垂隊(duì)對(duì)謝非爾隊(duì)，我們以 95%的概率預(yù)測(cè)考文垂隊(duì)獲勝?！? 喬治看后一笑。 喬治并不在意。 當(dāng)晚看比賽時(shí)，考文垂隊(duì)果然獲勝。 三周后，他又收到一封郵件：“親愛的球迷，我們的統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)設(shè)計(jì)了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)足球比賽的方法。今晚考文垂隊(duì)對(duì)米德爾斯堡隊(duì)，我們以95%的概率預(yù)測(cè)米德爾斯堡隊(duì)獲勝?！? 當(dāng)晚，米德爾斯隊(duì)果然獲勝。 喬治不由心中一震。 一周后，他又收到第三封郵件：“親愛的球迷，我們的統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)設(shè)計(jì)了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)足球比賽的方法。今晚
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