【正文】 ? 222( ) [ ( ) ] ( )iiiD X E X E X x p??? ? ? ? ? ??)( XD離散型數(shù)學(xué)期望和方差 (例題分析 ) 【 例 】 一家電腦配件供應(yīng)商聲稱(chēng) ， 他所提供的配件 100個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及概率如下表 次品數(shù) X = xi 0 1 2 3 概率 P(X=xi)?pi 每 100個(gè)配件中的次品數(shù)及概率分布 求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 ? ?????????? ?iii px?22( ) , ( ) 0 . 7 0 5 1 0 . 8 3 9 7iiiD X x p? ? ?? ? ? ??167。 假定該產(chǎn)品的質(zhì)量檢查采取隨機(jī)抽取 20個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢查 。族中不同成員的區(qū)別在于事件出現(xiàn)數(shù)目的均值 l不一樣 。 167。 有 ( ) ( 1 ) , 0 , 1 , . . . ,k n knp k p p k nk???? ? ?????這里 !! ( ) !n nk k n k?? ??? ???為二項(xiàng)式系數(shù)，或記為 knC0 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率p = 0 . 1 p = 0 . 2 p = 0 . 3p = 0 . 4 p = 0 . 5 p = 0 . 6p = 0 . 7 p = 0 . 8 p = 0 . 90 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率0 1 2 3 4 5值0 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率0 1 2 3 4 5值0 1 2 3 4 5值圖 九個(gè)二項(xiàng)分布 B(5,p) (p＝ )的概率分布圖 167。 ? 在目前統(tǒng)計(jì)軟件發(fā)達(dá)的情況下 ， 涉及的二項(xiàng)分布一般都自動(dòng)處理了；在處理實(shí)際問(wèn)題中很少會(huì)遇到直接計(jì)算二項(xiàng)分布概率的情況 。 ? 由于 n和 p可以根據(jù)實(shí)際情況取各種不同的值 ， 因此二項(xiàng)分布是一族分布 ， ? 族內(nèi)的分布以這兩個(gè)參數(shù)來(lái)區(qū)分 。 ? 和 Bernoulli試驗(yàn)相關(guān)的最常見(jiàn)的問(wèn)題是： 如果進(jìn)行 n次 Bernoulli試驗(yàn) ，每次成功的概率為 p， 那么成功 k次的概率是多少 ？ ? 這個(gè)概率的分布就是所謂的二項(xiàng)分布 (binomial distribution)。 二項(xiàng)分布 ? 下面試驗(yàn)可看成為 Bernoulli試驗(yàn)： ? 每一個(gè)進(jìn)入某商場(chǎng)的顧客是否購(gòu)買(mǎi)某商品 ? 每個(gè)被調(diào)查者是否認(rèn)可某種產(chǎn)品 ? 每一個(gè)新出嬰兒的性別 。 167。 ? 一般來(lái)說(shuō) ， 某離散隨機(jī)變量的每一個(gè)可能取值 xi都相應(yīng)于取該值的概率 p(xi)，這些概率應(yīng)該滿(mǎn)足關(guān)系 ( ) 1 , ( ) 0iiip x p x???167。 離散變量的分布 ? 離散變量只取離散的值 ， 比如骰子的點(diǎn)數(shù) 、 網(wǎng)站點(diǎn)擊數(shù) 、 顧客人數(shù)等等 。 有了概率分布就等于知道了總體 。 167。 剛才的乘法規(guī)則不成立； ? 這時(shí) ， P(A1∩A3) ＝ P(A1∩A2) ＝P(A2∩A3)＝ 0；如錯(cuò)誤照搬乘法規(guī)則會(huì)得到錯(cuò)誤的 (1/3)2=1/9。 ? 比如三個(gè)人抽簽 ， 而只有一個(gè)人能夠抽中 ， 因此每個(gè)人抽中的機(jī)會(huì)是1/3。 概率的運(yùn)算 : ? 如果你有一個(gè)固定電話(huà)和一個(gè)手機(jī) ，假定固定電話(huà)出毛病的概率為 ，而手機(jī)出問(wèn)題的概率為 ， ? 那么 ， 兩個(gè)電話(huà)同時(shí)出毛病的概率是多少呢 ？ ? 聰 明 的 讀 者 馬 上 會(huì) 猜 出 ， 是 =。 ? 這種 P(A∪ B)＝ P(A)+P(B)P(A∩B)的公式也適用于兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生的事件；但因?yàn)槟菚r(shí) P(A∩B)=0， 所以只剩下 P(A∪ B)＝ P(A)+P(B)了 。 出現(xiàn)事件 4或者 6的概率為 1/6+1/6=1/3。 ? 但是 ， “ 得到大于或等于 3點(diǎn)或者偶數(shù)點(diǎn) ” 的 事 件 的 概 率 就 不 是P(A)+P(B)=1/2+2/3=7/6了； 167。 ? 但是如果兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生時(shí)這樣做就不對(duì)了 。 ? 它 是 互 補(bǔ) 事 件 概 率 之 比 ， 即P(A)/P(AC)＝ P(A)/[1P(A)]來(lái)表示 。 167。這些事件和試驗(yàn)結(jié)果的集合歸納在下面表中： 167。 167。 ? 需要讀者回憶一下上中學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)的集合概念，比如兩個(gè)集合的交和并，互余（互補(bǔ)）等概念。 ? 那么擲一次骰子得到 5或者 6的概率是多少呢？ ? 在擲 10次骰子中有 一半或以上的次數(shù)得到 5或 6的概率又是多少呢？ ? 讀者很快就可能很快會(huì)得到答案。 ? 可以說(shuō) ， 主觀概率是一次事件的概率 。雖然如此，用相對(duì)頻數(shù)來(lái)確定概率的方法是很常用的。如果你刮了 150張發(fā)票，只有 3張中獎(jiǎng)，你會(huì)認(rèn)為，你的中獎(jiǎng)概率大約是 3/150= ? 如果一個(gè)學(xué)生在 200次上課時(shí)，無(wú)故曠課 10次，那么其曠課的概率可能被認(rèn)為接近 10/200= 167。 ? 這時(shí)就要靠觀察它在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率來(lái)估計(jì)它出現(xiàn)的概率。 ? 計(jì)算這些概率的基礎(chǔ)就是事先知道 （ 或者假設(shè) ） 某些事件是等可能的 。 167。 ? 在某種意義上 ， 新聞媒體的主要注意力大都集中在小概率事件上 。第四章 機(jī)會(huì)的量： 概率和分布 ? 概率是 0和 1之間的一個(gè)數(shù)目 ， 表示某個(gè)事件發(fā)生的可能性或經(jīng)常程度 。 167。 得到概率的幾種途徑 ? 再如從 52張牌中隨機(jī)抽取一張 ，那么它是黑桃的概率為抽取黑桃的可能 （ k＝ 13） 和總可能性 （ n＝ 52） 之比 ， 即 k/n=13/52=1/4； ? 類(lèi)似地抽到的牌是 J、 Q、 K、 A四種 （ 共有 16種可能 ） 的概率是16/52=4/13。 這種事件為 等可能事件 (equally likely event)。 ? 它約等于事件出現(xiàn)的頻數(shù) k除以重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù) n，該比值 k/n稱(chēng)為 相對(duì)頻數(shù)（ relative frequency）或頻率 。 得到概率的幾種途徑 ? 試驗(yàn)次數(shù) n越大則該值越接近于想得到的概率。 ? 你們可以舉出無(wú)數(shù)類(lèi)似的例子 167?；?yàn)榛谒莆盏男畔?， 某人對(duì)某事件發(fā)生的自信程度 。但再?gòu)?fù)雜一些，也許就不簡(jiǎn)單了。 ? 在概率論中所說(shuō)的事件（ event）相當(dāng)于集合論中的集合（ set）。 概率的運(yùn)算 ? 如所關(guān)心的是 兩骰子點(diǎn)數(shù)之和 ，則下表包含了所有 36種可能試驗(yàn)結(jié)果的搭配和相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)和。 概率的運(yùn)算 : ? 如果今天下雨的概率是 10％ ， 則今天不下雨的概率就是 90％ 。 概率的運(yùn)算 : ? 按照集合的記號(hào) ， 如果一個(gè)事件記為 A， 那么另一個(gè)記為 AC（ 稱(chēng)為 A的余集或補(bǔ)集 ） 。 167。 167。 概率的運(yùn)算 : ? 這顯然多出來(lái)了 。 167。 167。 ? 但是這種乘法法則 ， 即 P(A∩B)＝P(A)P(B)， 僅僅在兩個(gè)事件 獨(dú)立(independent)時(shí)才成立 。 ? 假定用 A A2和 A3分別代表這三個(gè)人 抽 中 的 事 件 ， 那么 ，P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3。 167。 概率的運(yùn)算 : ? 一般地 ， 在一個(gè)事件 B已經(jīng)發(fā)生的情況下 ， 事件 A發(fā)生的條件概率定義為（ 貝葉斯公式 ） 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量 第四章 概率與概率分布 試驗(yàn) 隨機(jī)變量 可能的取值 抽查 100個(gè)產(chǎn)品 取到次品的個(gè)數(shù) 0,1,2,…,100 一家餐館營(yíng)業(yè)一天 顧客數(shù) 0,1,2,… 抽查一批電子原件 使用壽命 X?0 新建一座住宅樓 半年完成工程的百分比 0?X ?100 分布 ? 隨機(jī)變量取一切可能值或范圍的概率或概率的規(guī)律稱(chēng)為概率分布(probability distribution， 簡(jiǎn)稱(chēng)分布 )。 分布 ? 前面介紹過(guò)的樣本均值 、 樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本方差等樣本特征的概念是相應(yīng)的總體特征的反映 。 每一種取值都有某種概率 。 二項(xiàng)分布 ? 最簡(jiǎn)單的離散分布應(yīng)該是基于 可重復(fù) 的有 兩 結(jié)果 （ 比如成功和失敗 ）的相同 獨(dú)立 試驗(yàn) （ 每次試驗(yàn)成功概率相同 ） 的分布 ， 例如拋硬幣 。 二項(xiàng)分布 ? 這種有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)有兩個(gè)特點(diǎn)： ? 一是各次試驗(yàn)互相獨(dú)立 ， ? 二是每次試驗(yàn)得到一種結(jié)果的概率不變 （ 這里是得到正面的概率總是p） 。 ? 根據(jù)這種簡(jiǎn)單試驗(yàn)的分布 ， 可以得到基于這個(gè)試驗(yàn)的更加復(fù)雜事件的概率 。 167。 167。 167。 Poisson分布 ? 另一個(gè)常用離散分布是 Poisson分布（ 翻譯成 “ 泊松分布 ” 或 “ 普阿松分布 ” ） 。 Poisson分布 ? 在不同條件下 ， 同樣事件在單位時(shí)間中出現(xiàn)同等數(shù)目的概率不盡相同 。 167。 如果抽到的 20個(gè)產(chǎn)品中含有 2個(gè)或更多不合格產(chǎn)品 ， 則整個(gè) 500個(gè)產(chǎn)品將會(huì)被退回 。 連續(xù)變量的分布 ? 取連續(xù)值的變量 ， 如高度 、 長(zhǎng)度 、重量 、 時(shí)間 、 距離等等；它們被稱(chēng)為連續(xù)變量 (continuous variable)。 連續(xù)變量的分布 ? 想象連續(xù)變量觀測(cè)值的直方圖；如果其縱坐標(biāo)為相對(duì)頻數(shù) ， 那么所有這些矩形條的高度和為 1；完全可以重新設(shè)置量綱 ， 使得這些矩形條的面積和為 1。 ( 1 ) ( 2 )( 3 ) ( 4 )2 0 20.00.10.20.30.4逐漸增加矩形條數(shù)目的直方圖和一個(gè)形狀類(lèi)似的密度曲線。