【導讀】概率是0和1之間的一個數(shù)目，表示某。個事件發(fā)生的可能性或經(jīng)常程度。你買彩票中大獎的機會很小(接近0). 但每分鐘有流星擊中地球的概率為1. 你今天被汽車撞上的概率幾乎是0. 發(fā)生概率很小的事件稱為。生的事件更值得研究。在某種意義上，新聞媒體。1．利用等可能事件。拋一個公平的硬幣，則以等可。再如從52張牌中隨機抽取一張，＝52）之比，即k/n=13/52=1/4；類似地抽到的牌是J、Q、K、A四。其實即使沒有學過概率，讀者。也多半能夠算出這些概率。計算這些概率的基礎就是事先。事件并不一定是等可能的，或者人們。這時就要靠觀察它在大量重復試驗中。它約等于事件出現(xiàn)的頻數(shù)k除以重復。例如，刮發(fā)票的中獎密封時，大。張發(fā)票，只有3張中獎，你會認為，很多事件無法進行長期重復試驗。的方法也并不是萬能的?？梢哉f，主觀概率是一次事件的概率。而得到5點的概率也是1/6。在擲10次骰子中有一半或以上的次數(shù)。在概率論中所說的事件相。率則是事件的某種函數(shù)。互余事件或?qū)α⑹录?

　　

【正文】 ? 估計的根據(jù)為總體抽取的樣本 。 ? 樣本的 （ 不包含未知總體參數(shù)的 ） 函數(shù)稱為統(tǒng)計量；而用于估計的統(tǒng)計量稱為 估計量 (estimator)。 ? 由于一個統(tǒng)計量對于不同的樣本取值不同 ， 所以 ， 估計量也是隨機變量 ，并有其分布 。 ? 如果樣本已經(jīng)得到 ， 把數(shù)據(jù)帶入之后 ，估計量就有了一個數(shù)值 ， 稱為該估計量的一個 實現(xiàn) (realization)或取值 ， 也稱為一個 估計值 (estimate)。 167。 用估計量估計總體參數(shù) ? 這里介紹兩種估計，一種是 點估計 (point estimation)，即用估計量的實現(xiàn)值來近似相應的總體參數(shù)。 ? 另一種是 區(qū)間估計 (interval estimation)；它是包括估計量在內(nèi)（有時是以估計量為中心）的一個區(qū)間；該區(qū)間被認為很可能包含總體參數(shù)。 ? 點估計給出一個數(shù)字，用起來很方便；而區(qū)間估計給出一個區(qū)間，說起來留有余地；不像點估計那么絕對。 167。 點估計 ? 用什么樣的估計量來估計參數(shù)呢 ？ ? 實際上沒有硬性限制 。 任何統(tǒng)計量 ， 只要人們覺得合適就可以當成估計量 。 ? 當然 ， 統(tǒng)計學家想出了許多標準來衡量一個估計量的好壞 。 每個標準一般都僅反映估計量的某個方面 。 ? 這樣就出現(xiàn)了按照這些標準定義的各種名目的估計量 （ 如無偏估計量等 ） 。 ? 另一些估計量則是由它們的計算方式來命名的 （ 如最大似然估計和矩估計等 ） 。 167。 點估計 ? 最常用的估計量就是我們熟悉的樣 本 均 值 、 樣 本 標 準 差 (s) 和(Bernoulli試驗的 )成功比例 (x/n)； ? 人們用它們來分別估計總體均值(?)、 總體標準差 (?)和成功概率 (或總體中的比例 )p。 這些在前面都已經(jīng)介紹過 ， 大家也知道如何通過計算機 （ 或公式 ） 來計算它們 。 167。 點估計 ? 那么 ， 什么是好估計量的標準呢 ？ ? 一 種 統(tǒng) 計 量 稱 為 無 偏 估 計 量(unbiased estimator)。 ? 所謂的 無偏性 (unbiasedness)就是：雖然每個樣本產(chǎn)生的估計量的取值不一定等于參數(shù) ， 但當抽取大量樣本時 ， 那些樣本產(chǎn)生的估計量的均值會接近真正要估計的參數(shù) 。 167。 點估計 ? 由于一般僅僅抽取一個樣本 ， 并且用該樣本的這個估計量的實現(xiàn)來估計對應的參數(shù) ，人們并不知道這個估計值和要估計的參數(shù)差多少 。 ? 因此 ， 無偏性僅僅是非常多次重復抽樣時的一個漸近概念 。 ? 隨機樣本產(chǎn)生的樣本均值 、 樣本標準差和Bernoulli試驗的成功比例分別都是相應的總體均值 、 總體標準差和總體比例的無偏估計 。 167。 點估計 ? 在無偏估計量的類中 ， 人們還希望尋找方差最小的估計量 ， 稱為最小方差無偏估計量 。 ? 此因為方差小說明反復抽樣產(chǎn)生的許多估計量差別不大 ， 因此更加精確 。 ? 評價一個統(tǒng)計量好壞的標準很多；而且許多都涉及一些大樣本的極限性質(zhì) 。我們不想在這里涉及太多此方面的細節(jié) 。 167。 區(qū)間估計 ? 當描述一個人的體重時 ， 你一般可能不會說這個人是 ? 你會說這個人是七八十公斤 ， 或者是在 70公斤到 80公斤之間 。 這個范圍就是區(qū)間估計的例子 。 167。 區(qū)間估計 ? 在抽樣調(diào)查例子中也常用點估計加區(qū)間估計的說法 。 ? 比如 ， 為了估計某電視節(jié)目在觀眾中的支持率 （ 即總體比例 p） ，某調(diào)查結(jié)果會顯示 ， 該節(jié)目的“ 收視率為 90%， 誤差是 177。 3%，置信度為 95%”云云 。 這這種說法意味著下面三點 167。 區(qū)間估計 ? 1. 樣本中的支持率為 90%， 即用樣本比例作為對總體比例的點估計 ? 2. 估計范圍為 90%177。 3%(177。 3%的誤差 )， 即區(qū)間 (93%， 87%)。 ? 3. 如用類似的方式 ， 重復抽取大量 （ 樣本量相同的 ） 樣本時 ， 產(chǎn)生的大量類似區(qū)間中有些會覆蓋真正的 p， 而有些不會；但其中大約有95%會覆蓋真正的總體比例 。 167。 區(qū)間估計 ? 這樣得到的區(qū)間被稱為總體比例 p的置信度 (confidence level)為 95%的置信區(qū)間 (confidence interval)。 這里的置信度又稱 置信水平 或 置信系數(shù) 。 ? 顯然置信度的概念又是大量重復抽樣時的一個漸近概念 。 167。 區(qū)間估計 ? 因此說 “ 我們目前得到的區(qū)間 （ 比如上面的 90%177。 3%） 以概率 蓋真正的比例 p”是個錯誤的說法 。 ? 這里的區(qū)間 (93%， 87%)是固定的 ，而總體比例 p也是固定的值 。 因此只有兩種可能：或者該區(qū)間包含總體比例 ， 或者不包含； ? 在固定數(shù)值之間沒有任何概率可言 。 167。 區(qū)間估計 ? 例 ()某廠家生產(chǎn)的掛面包裝上寫明 “ 凈含量 450克 ” 。 在用天平稱量了商場中的 48包掛面之后 ，得到樣本量為 48的關(guān)于掛面重量（ 單位：克 ） 的一個樣本： 446. 1 D e s c r i p t i v e s （描述統(tǒng)計量）4 4 9 . 0 1 0 4 . 7 9 4 3 54 4 7 . 4 1 2 44 5 0 . 6 0 8 44 4 8 . 9 5 0 03 0 . 2 8 75 . 5 0 3 3 94 3 9 . 6 04 6 1 . 1 02 1 . 5 08 . 1 8統(tǒng)計量M e a n （樣本均數(shù)）L o w e r B o u n d （下限） U p p e r B o u n d （上限）9 5 % C o n f id e n c e In t e r v a l f o r M e a n（總體均數(shù)的 9 5 % 可信區(qū)間）M e d ia n （中位數(shù)）V a r ia n c e （方差）S t d . D e v ia t io n （標準差）M in i m u m （最小值）M a x im u m （最大值）R a n g e （極差）In t e r q u a r t il e R a n g e （四分位數(shù)極差）結(jié)果變量w e ig h t統(tǒng)計量值 標準誤差用計算機可以很容易地得到掛面重量的樣本均值、總體均值的置信區(qū)間等等。下面是 SPSS的輸出： 該輸出給出了許多第三章引進的描述統(tǒng)計量。和估計有關(guān)的是作為總體均點估計的樣本均值，它等于 ；而總體均值的95%置信區(qū)間為（ ， ） 167。 區(qū)間估計 ? 我們還可以構(gòu)造兩個總體的均值（ 或比例 ） 之差的置信區(qū)間 。 ? 如想知道兩個地區(qū)學生成績的差異 ， 可以建造兩個地區(qū)成績均值之差 ?1 ?2的置信區(qū)間 。 ? 如想比較一個候選人在不同階段支持率的差異 ， 那就可構(gòu)造比例之差 p1p2的置信區(qū)間 。 167。 區(qū)間估計 ? 例 () ? (a)我們想要分別得到這兩個總體均值和標準差的點估計 （ 即樣本均值和樣本標準差 ） 和各總體均值的95%置信區(qū)間 。 ? (b)求兩個均值差 ?1?2的點估計和95%置信區(qū)間 。 利用軟件很容易得到下面結(jié)果： 167。 區(qū)間估計 ? 兩個總體均值估計量的樣本均值分別為 ， 樣本標準差分別為 ；還得到均值的置信區(qū)間分別是 (, ),(, )。 ? 可以得到兩個樣本均值的差 ()，另外還給出了兩總體均值差的 95%置信區(qū)間 (， )。 167。 關(guān)于置信區(qū)間的注意點 ? 前面提到 ， 不要認為由 某一樣本 數(shù)據(jù)得到總體參數(shù)的 某一個 95%置信區(qū)間 ， 就以為 該 區(qū)間以 蓋總體參數(shù) 。 ? 置信度 95%僅僅描述用來構(gòu)造該區(qū)間上下界的 統(tǒng)計量 (是隨機的 )覆蓋總體參數(shù)的概率； ? 也就是說 ， 無窮次重復抽樣所得到的所有區(qū)間中有 95%包含參數(shù) 。 167。 關(guān)于置信區(qū)間的注意點 ? 但是把一個樣本數(shù)據(jù)帶入統(tǒng)計量的公式所得到的一個區(qū)間 ，只是這些區(qū)間中的一個 。 ? 這個非隨機的區(qū)間是否包含那個非隨機的總體參數(shù) ， 誰也不可能知道 。 非隨機的數(shù)目之間沒有概率可言 。 167。 關(guān)于置信區(qū)間的注意點 ? 置信區(qū)間的論述是由區(qū)間和置信度兩部分組成 。 ? 有些新聞媒體報道一些調(diào)查結(jié)果只給出百分比和誤差 （ 即置信區(qū)間 ） ， 并不說明置信度 ， 也不給出被調(diào)查的人數(shù) ， 這是不負責的表現(xiàn) 。 ? 因為降低置信度可以使置信區(qū)間變窄（ 顯得 “ 精確 ” ） ， 有誤導讀者之嫌 。在公布調(diào)查結(jié)果時給出被調(diào)查人數(shù)是負責任的表現(xiàn) 。 這樣則可以由此推算出置信度 （ 由后面給出的公式 ） ， 反之亦然 。 167。 關(guān)于置信區(qū)間的注意點 ? 一個描述性例子：有 10000個人回答的調(diào)查顯示 ， 同意某觀點人的比例為 70%（ 有 7000人同意 ） ， 可算出總體中同意該觀點的比例的95%置信區(qū)間為 （ ， ） ； ? 另一個調(diào)查聲稱有 70%的比例反對該種觀點 ，還說總體中反對該觀點的置信區(qū)間也是（ ， ） 。 ? 到底相信誰呢 ？ 實際上 ， 第二個調(diào)查隱瞞了置信度 。 如果第二個調(diào)查僅僅調(diào)查了 50個人 ，有 35個人反對該觀點 。 則其置信區(qū)間的置信度僅有 11%。