統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣與抽樣分布-資料下載頁
2025-02-16 14:05本頁面
【正文】 間存在一個線性約束條件；若 X1, X2,…,Xn間存在 k個獨(dú)立的線性約束條件，則它們中僅有 n k個獨(dú)立的變量，此時稱平方和 的自由度為 nk。 由此可知，自由度表示了平方和中獨(dú)立隨機(jī)變量的個數(shù)。 55 21niiX?? ?2分布概率密度函數(shù)的圖形 與正態(tài)分布不同， ?2分布僅有一個參數(shù)，即自由度。?2分布在單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)，以及在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷中都有重要應(yīng)用。 56 x f ( x ) o n =1 n =4 n = 1 0 (2) ?2分布表。 由于 ?2分布主要應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)推斷，因此與正態(tài)分布表不同， ?2分布表中給出的不是該分布的分布函數(shù)值，而是所謂的“右側(cè) ?分位點(diǎn) ” 的值，其中 為滿足 的 x軸上的某一點(diǎn)的值，如下圖所示， 由給定的概率 ? 及自由度，可查表得到 的值。 57 2()n?? 2()n??2()n?? ? ?22 ( ) 0 1Pn ?? ? ? ?? ? ? ? 3) t分布 (1) 設(shè) X~N(0,1)， Y~?2(n)，且 X與 Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 n的 t分布，記為 t ~ t(n)。 t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是非常類似的，且 t分布的極限分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng) n很大時， t分布就近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 。 58 /XtYn? ()fx , ( 0 , 1 )nN??10n ?4n ?1n ?xo 4) F分布 (1) 設(shè) X~?2(n1)， Y~?2(n2)，且 X和 Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 (n1, n2)的 F分布，記為 。并稱 n1為第一 (分子的 )自由度， n2為第二 (分母的 )自由度。 F分布密度函數(shù)的圖形 59 12//XnFYn? 12~ ( , )F F n nx o n 1 = 20, n 2 = 100 n 1 = 20, n 2 = 25 n 1 = 20, n 2 = 10 f ( x ) (2) F分布表 由于 F分布有兩個自由度，因此對每一個 ?，就有一張 F分布表 (見附錄 )，表中給出的仍是不同自由度下F分布的右側(cè) ?分位點(diǎn) F?(n1, n2)的值，其中 F?(n1, n2)為滿足 P{F F?(n1, n2) }=?, 0?1 的 x軸上的某一點(diǎn)的值 。 由 F分布的定義，不難得到以 下關(guān)系： 60 1 1 2211( , )( , )F n n F n n? ?? ?二 . 點(diǎn)估計(jì)的方法 1. 總體比例的點(diǎn)估計(jì) 當(dāng)總體的指標(biāo)是具有兩種或多種屬性 (標(biāo)志 )時，具有某種屬性 (標(biāo)志 )的總體單位數(shù)在總體中所占的比重就稱為總體比例，總體比例記為 p。 對總體比例，通常采用頻率估計(jì)法，即用樣本中某屬性出現(xiàn)的頻率來估計(jì)總體比例。記樣本容量為 n，k 為樣本中某屬性出現(xiàn)的次數(shù)，則 總體比例的點(diǎn)估計(jì)，也就是使用頻率來估計(jì)概率，這是估計(jì)離散型總體概率分布的常用方法。 62 nkpps ??? 2. 總體均值和方差的點(diǎn)估計(jì) 在大多數(shù)情況下，需要估計(jì)的參數(shù)是總體的均值 μ和總體方差 ?2。可以有許多不同的方法來構(gòu)造總體均值 ?和方差 ?2的估計(jì)量，這里僅介紹一種最常用，而且通常也是效果最好的估計(jì)方法 —— 數(shù)字特征法 (也稱 矩法 )。 所謂數(shù)字特征法，就是指用樣本的相應(yīng)數(shù)字特征樣本均值 和樣本方差 S2，分別估計(jì)總體的數(shù)字特征總體均值與總體方差的方法，即 63 X? X??22? S? ?64 64 設(shè)某種壓縮機(jī)的壽命 X～ N(?, ?2)，其中 ? , ? 2未知， 現(xiàn)隨機(jī)測得 10臺壓縮機(jī)的壽命如下 (小時 ) 15020, 14530, 13670, 11080, 16500 12130, 12080, 14800, 15500, 17000 試估計(jì) ? 和 ? 2。 解 ：使用計(jì)算器的 SD 功能可得 14231? ?? x? 222 1965? ?? S?【 例 1】 產(chǎn)品壽命均值和方差的估計(jì) 65 65 ?? 設(shè)為未知參數(shù) ?的估計(jì)量， ?? ?)?(E則稱 ??為 ? 的無偏估計(jì)量， 無偏性是對估計(jì)量的最基本要求，無偏估計(jì)將不會出現(xiàn)系統(tǒng)性的估計(jì)偏差。 不難證明，對任意總體 X， X和樣本 方差 S2 分別是總體均值和總體方差的無偏估計(jì)。 三 . 估計(jì)量的評價標(biāo)準(zhǔn) 簡稱 無偏估計(jì) 。 若 樣本均值 樣本成數(shù)也是總體比例的無偏估計(jì)。 3. 一致性 對參數(shù) 的估計(jì)量 ，若對任意給定的 ? 0，有 則稱 是 的一致估計(jì)。 一致估計(jì)可以保證參數(shù)估計(jì)的精確程度隨樣本容量 n的增大而提高。由此可知，要減少估計(jì)的誤差，就需要有足夠的樣本容量。 67 ?l im {| | } 1n P ? ? ??? ? ? ??????
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