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正文內(nèi)容

統(tǒng)計學(xué)概率和分布-展示頁

2024-09-11 12:28本頁面
  

【正文】 小 概 率 事 件 (small probability event); ? 小概率事件不那么可能發(fā)生 , 但它往往比很可能發(fā)生的事件更值得研究 。第四章 機(jī)會的量: 概率和分布 ? 概率是 0和 1之間的一個數(shù)目 , 表示某個事件發(fā)生的可能性或經(jīng)常程度 。 ? 你買彩票中大獎的機(jī)會很小 (接近 0) ? 但有人中大獎的概率幾乎為 1 ? 你被流星擊中的概率很小 (接近 0) ? 但每分鐘有流星擊中地球的概率為 1 ? 你今天被汽車撞上的概率幾乎是 0 ? 但在北京每天發(fā)生車禍的概率是 1。 ? 在某種意義上 , 新聞媒體的主要注意力大都集中在小概率事件上 。 得到概率的幾種途徑 ? 1. 利用等可能事件 ? 如果一個骰子是公平的 , 那么擲一次骰子會以等可能 (概率1/6, 6種可能之一 )得到 1至 6點的中的每一個點 。 167。 167。 ? 計算這些概率的基礎(chǔ)就是事先知道 ( 或者假設(shè) ) 某些事件是等可能的 。 167。 ? 這時就要靠觀察它在大量重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率來估計它出現(xiàn)的概率。 167。如果你刮了 150張發(fā)票,只有 3張中獎,你會認(rèn)為,你的中獎概率大約是 3/150= ? 如果一個學(xué)生在 200次上課時,無故曠課 10次,那么其曠課的概率可能被認(rèn)為接近 10/200= 167。 ? 很多事件無法進(jìn)行長期重復(fù)試驗。雖然如此,用相對頻數(shù)來確定概率的方法是很常用的。 得到概率的幾種途徑 ? 3. 主觀概率 ? 一些概率既不能由等可能性來計算 ,也不可能從試驗得出 。 ? 可以說 , 主觀概率是一次事件的概率 。 167。 ? 那么擲一次骰子得到 5或者 6的概率是多少呢? ? 在擲 10次骰子中有 一半或以上的次數(shù)得到 5或 6的概率又是多少呢? ? 讀者很快就可能很快會得到答案。 167。 ? 需要讀者回憶一下上中學(xué)時學(xué)過的集合概念,比如兩個集合的交和并,互余(互補)等概念。而概率則是事件的某種函數(shù)。 167。 第一 個的 點數(shù) 兩 骰子點數(shù)和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 第二個的點數(shù) 6 7 8 9 10 11 12 事件: 兩骰子點數(shù)和 集合 : 相應(yīng)的試驗結(jié)果(兩個數(shù)字分別表示第一和第二個骰子的點數(shù)) 集合中 元素的個 數(shù) 事件的概率 2 ( 1,1) 1 1/ 36 3 ( 1,2) ( 2,1) 2 2/ 36 4 ( 1,3) ( 2,2) ( 3,1) 3 3/ 36 5 ( 1,4) ( 2,3) ( 3,2) ( 4 , 1 ) 4 4/ 36 6 ( 1,5) ( 2,4) ( 3,3) ( 4 ,2) ( 5,1) 5 5/ 36 7 ( 1,6) ( 2,5) ( 3,4) ( 4 ,3) ( 5,2) ( 6 ,1) 6 6/ 36 8 ( 2,6) ( 3,5) ( 4,4) ( 5 ,3) ( 6,2) 5 5/ 36 9 ( 3,6) ( 4,5) ( 5,4) ( 6 ,3) 4 4/ 36 10 ( 4,6) ( 5,5) ( 6,4) 3 3/ 36 11 ( 5,6) ( 6,5) 2 2/ 26 12 ( 6,6) 1 1/ 36 可以看出,如果我們考慮點數(shù)和等于 2的事件,則僅有一種可能的試驗結(jié)果(兩個骰子均為一點);而如果我們考慮點數(shù)和等于 7的事件,則有六種可能的試驗結(jié)果。這些事件和試驗結(jié)果的集合歸納在下面表中: 167。 ? 如果你中獎的概率是 , 那么不 中 獎 的 概 率 就 是 1 -=。 167。 ? 顯然互補事件的概率之和為 1, 即P(A)+P(AC)=1 , 或者 P(AC) = 1 -P(A)。 ? 它 是 互 補 事 件 概 率 之 比 , 即P(A)/P(AC)= P(A)/[1P(A)]來表示 。 概率的運算 : ? 如果兩個事件不可能同時發(fā)生 ,那么至少其中之一發(fā)生的概率為這兩個概率的和 。 ? 但是如果兩個事件可能同時發(fā)生時這樣做就不對了 。 概率的運算 : ? 假定擲骰子時 , 一個事件 A為 “ 得到偶數(shù)點 ” ( 有 3種可能: 6點 ) ,另一個事件 B為 “ 得到大于或等于 3點 ”( 有 4種可能: 6點 ) ; ? 這樣 , 事件 A的概率顯然等于 3/6=1/2,即 P(A)=1/2 。 ? 但是 , “ 得到大于或等于 3點或者偶數(shù)點 ” 的 事 件 的 概 率 就 不 是P(A)+P(B)=1/2+2/3=7/6了; 167。 概率怎么能夠大于1呢 ? ? 按照中學(xué)時關(guān)于集合的記號 , 該事件稱為 A和 B的并 , 記為 A∪ B。 出現(xiàn)事件 4或者 6的概率為 1/6+1/6=1/3。 概率的運算 : ? 于是應(yīng)該把算重了的概率減去 。 ? 這種 P(A∪ B)= P(A)+P(B)P(A∩B)的公式也適用于兩個不可能同時發(fā)生的事件;但因為那時 P(A∩B)=0, 所以只剩下 P(A∪ B)= P(A)+P(B)了 。 概率的運算 : ? 這種交等于空集 ( A∩B=F, 這里 F表示空集或空事件 ) 的事件為兩個不可能同時發(fā)生的事件 , 稱為 互不相 容 事 件 ( mutually exclusive events) 。 概率的運算 : ? 如果你有一個固定電話和一個手機(jī) ,假定固定電話出毛病的概率為 ,而手機(jī)出問題的概率為 , ? 那么 , 兩個電話同時出毛病的概率是多少呢 ? ? 聰 明 的 讀 者 馬 上 會 猜 出 , 是 =。 167。 ? 比如三個人抽簽 , 而只有一個人能夠抽中 , 因此每個人抽中的機(jī)會是1/3。 167。 剛才的乘法規(guī)則不成立; ? 這時 , P(A1∩A3) = P(A1∩A2) =P(A2∩A3)= 0;如錯誤照搬乘法規(guī)則會得到錯誤的 (1/3)2=1/9。 概率的運算 : ? 但是可以計算條件概率 , 比如第一個人抽到 ( 事件 A1) , 則在這個條件下其他兩個人抽到的概率都為 0;記為 P(A2|A1)=P(A3|A1)=0。 167。 ? 概率分布可以用各種圖或表來表示;一些可以用公式來表示 。 有了概率分布就等于知道了總體 。 ? 我們也有描述變量 “ 位置 ” 的總體均值 、 總體中位數(shù) 、 總體百分位數(shù)以及描述變量分散 ( 集中 ) 程度的總體標(biāo)準(zhǔn)差和總體方差等概念 。 離散變量的分布 ? 離散變量只取離散的值 , 比如骰子的點數(shù) 、 網(wǎng)站點擊數(shù) 、 顧客人數(shù)等等 。 各種取值點的概率總和應(yīng)該是 1。 ? 一般來說 , 某離散隨機(jī)變量的每一個可能取值 xi都相應(yīng)于取該值的概率 p(xi),這些概率應(yīng)該滿足關(guān)系 ( ) 1 , ( ) 0iiip x p x???167。 ? 比如用 p代表得到硬幣正面的概率 ,那么 1- p則是得到反面的概率 。 167。 ? 類似于拋硬幣的僅有兩種結(jié)果的重復(fù)獨立試驗被稱為 Bernoulli試驗( Bernoulli trials) 。 二項分布 ? 下面試驗可看成為 Bernoulli試驗: ? 每一個進(jìn)入某商場的顧客是否購買某商品 ? 每個被調(diào)查者是否認(rèn)可某種產(chǎn)品 ? 每一個新出嬰兒的性別 。 167。 ? 和 Bernoulli試驗相關(guān)的最常見的問題是: 如果進(jìn)行 n次 Bernoulli試驗 ,每次成功的概率為 p, 那么成功 k次的概率是多少 ? ? 這個概率的分布就是所謂的二項分布 (binomial distribution)。 二項分布 ? 這個分布有兩個參數(shù) , 一個是試驗次數(shù) n, 另一個是每次試驗成功的概率 p。 ? 由于 n和 p可以根據(jù)實際情況取各種不同的值 , 因此二項分布是一族分布 , ? 族內(nèi)的分布以這兩個參數(shù)來區(qū)分 。 二項分布 ? 二項分布的概率通常用二項分布表來查出 。 ? 在目前統(tǒng)計軟件發(fā)達(dá)的情況下 , 涉及的二項分布一般都自動處理了;在處理實際問題中很少會遇到直接計算二項分布概率的情況 。 二項分布 ? 但這里還是給出其一般公式 。 有 ( ) ( 1 ) , 0 , 1 , . . . ,k n knp k p p k nk???? ? ?????這里 !! ( ) !n nk k n k?? ??? ???為二項式系數(shù),或記為 knC0 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率p = 0 . 1 p = 0 . 2 p = 0 . 3p = 0 . 4 p = 0 . 5 p = 0 . 6p = 0 . 7 p = 0 . 8 p = 0 . 90 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率0 1 2 3 4 5值0 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率0 1 2 3 4 5值0 1 2 3 4 5值圖 九個二項分布 B(5,p) (p= )的概率分布圖 167。 ? 它可以認(rèn)為是衡量某種事件在一定期間出現(xiàn)的數(shù)目的概率 。 167。 ? 比如中午和晚上某
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