【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???4．指數(shù)分布 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 ?的指數(shù)分布，其概率密度為 ???????.00,0)(xxexfx????? 1)(0?????????? ??dxexdxxxfEXx故5. 正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 ?， ?的正態(tài)分布 N (?， ?2)，其概率密度為 0, ,21)( 222)(???????????????xexfxdxexEXx222)(21 ? ??????????? , ???? xt令dtetEXt22) (21 ???????? ???則?????? ??? ?????? 22222dtet三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 對(duì)于隨機(jī)變量 X，隨機(jī)變量 X的函數(shù) Y =g(X)仍然 是一個(gè)隨機(jī)變量。如果能求得 Y的分布，則它的數(shù) 學(xué)期望就可按前面的公式計(jì)算。但是，求 Y的分布 一般是比較繁瑣的，如果能避開(kāi)求 Y的分布而直接 利用隨機(jī)變量 X的分布求 Y的數(shù)學(xué)期望，對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算 顯然是非常有利的。 下面不加證明地給出有關(guān)結(jié)論。 連續(xù)型： 設(shè) X的概率密度為 f(x) 絕對(duì)收斂若 ? ???? dxxfxg )()( ? ? ? ?????? dxxfxgxgEEY )()()( 則1. 定理：設(shè) Y是隨機(jī)變量 X的函數(shù) )( )( CgXgY ??離散型： 若 X的分布律為： ?,2,1}。{ ??? kxXPp kk:)(1絕對(duì)收斂，則且 ???kkk pxg? ? ?????1)()(kkk pxgXgEEY2. 結(jié)論推廣至多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的情形： 設(shè) Z是隨機(jī)變量 X ， Y的函數(shù) )(),( CgYXgZ ??即? ? ? ???????1 1),(),(j iijji pyxgyxgEEZ則設(shè)上式右端的無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 離散型： 若離散型隨機(jī)變量 X， Y的分布律為： ?,2,1, .},{ ???? jipyYxXP ijji連續(xù)型： 若 (X， Y )的概率密度為 f(x， y)，則 ? ? ? ??????????? dxdyyxfyxgyxgEEZ ),(),(),(設(shè)上式右端的廣義積分絕對(duì)收斂。 例 10 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 X 0 1 2 p 1/2 3/8 1/8 試求 EX ， EX2， E(3X+4)2。 85812831210 ???????EX解87812831210 2222 ???????EX81)423(83)413(21)403()43( 2222 ?????????????XE8311? 解 例 11 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X， Y )的聯(lián)合分布律為 試求 E(X+Y)。 1 2 0 1 0 2 4/16 2/16 1/16 4/16 2/16 0 0 1/16 0 Y X ????????????? 16 4)01(16 1)20(16 4)10(16 4)00(0)22(0)12(16 1)02(0)21(16 2)11( ??????????????E(X+Y ) 10)22(0)12(16 1)02(0)21(16 2)1( ?????????????例 12 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X， Y)的概率密度為 ??? ????. ,0 ,10,12),( 2其它xyyyxf試求 X， Y， XY， X2+Y2的數(shù)學(xué)期望。 解 ? ?????????? dxdyyxxfEX ),(54312121030210 ???? ??? dxxxdyxydx x53412121040210 ????? ??? dxxxdyyydxEY x例 12 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X， Y)的概率密度為 ??? ????. ,0 ,10,12),( 2其它xyyyxf試求 X， Y， XY， X2+Y2的數(shù)學(xué)期望。 2141212)(1040210 ????? ??? dxxxdyyxydxXYE x15165312 )(12)(1053202221022???????????????????dxxxxdyyyxdxYXEx例 12 假設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量 X為 (單位：噸 )，它服從 [2022， 4000]上的均勻分布。每售出這種商品一噸，可為國(guó)家掙得外匯 6萬(wàn)元，但假如銷售不出囤積倉(cāng)庫(kù)，則每噸浪費(fèi)保管費(fèi) 2萬(wàn)元。試問(wèn)應(yīng)組織多少噸貨源，才能使國(guó)家的收益最大？ 解 設(shè) s表示預(yù)備出口數(shù)，則顯然有 2022≤s≤4000。用Y表示該年的利潤(rùn)，則 Y也是隨機(jī)變量。且 ???????????.0002 ),(26,4000 ,6)(sXXsXXssXgY而 X的概率密度為 ????????. ,0,4 0 0 00002 ,2 0 0 01)(其它xxf由此可得，在進(jìn)貨數(shù)為 s時(shí)，國(guó)家所獲得的期望收益為 dxxfxgXgEEY )()()]([ ? ??????.500 104700062 ????? ss即期望收益是 s的函數(shù)，利用微分法求使期望收益 EY達(dá)到最大時(shí)時(shí)的 s。 500700 02][ ??? sdsEYd ? 0。 .3 5 0 0 ?s解得? ?? ???? ss s dxdxsx20 0 040 0 0 6)28(20221 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1) 設(shè) c為常數(shù)，則 E(c)=c ； 2) E(cX )=cEX, c為常數(shù) ； 3) E(X+Y )=EX+EY ，可推廣至多個(gè)情形； ????????????? niinii EXXE114)設(shè) X， Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 則： E(XY)=EX EY 。 可推廣至多個(gè)情形。 ?? ?? ????????? niinii EXXE11證 性質(zhì) 2由讀者自己完成證明。 下面僅就連續(xù)型隨機(jī)變量證明 性質(zhì) 3和 性質(zhì) 4。 設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量 (X， Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x， y)， 其邊緣概率密度分別為 fX (x)和 fY (y) 。則 dxdyyxfyxYXE ),())( ??? ?? ???????? （dxdyyxyfdxdyyxxf ),(),( ???? ???????????????? ??.EYEX ??又若 X 、 Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，此時(shí) f(x， y)= fX (x) fY (y) dxdyyfxxy fXYE YX )()()( ?? ?????????EYEXdyyyfdxxxf YX ??? ?? ???????? ])(][)([.),(,.10,20旅客是否下車(chē)相互獨(dú)立并設(shè)各下車(chē)是等可能的設(shè)每位旅客在各個(gè)車(chē)站求表示停車(chē)的次數(shù)以客下車(chē)就不停車(chē)如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有旅個(gè)車(chē)站可以下車(chē)客有旅位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出一機(jī)場(chǎng)班車(chē)載有EXX解 ,iX引入隨機(jī)變量.10,2,1,1 ,0 ?????? iiiXi 站有人下車(chē)在第站沒(méi)有人下車(chē)在第.1021 XXXX ???? ?則例 13 ,109}0{20????????iXP則有 ,1091}1{20?????????iXP.10,2,1 ??i.,2,1,109120?????????? iEX i由此)( 1021 XXXEEX ???? ?得