【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 6 1 , 1n S n Snn?????? ??證明：1 由定理 知，? ? ? ? ? ?12120 , 111XYUNnn???? ? ???即有：? ? 221212122 ,X Y N nn??????? ? ?????易知2, ?且它們相互獨(dú)立 故有 分布的可加性知：? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122211 1 , 1n S n Snn?????? ??又由給定條件知： ,UV由定理 知： 與 相互獨(dú)立? ? ? ? ? ?221 1 2 2 212211 2n S n SV n n??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?12 12121222 11wtXYUt n nV n n Snn??? ? ?? ? ??????????從而按 分布定義知： 33 復(fù)習(xí)思考題 6 ？什么叫簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本？總體 X的樣本 X1,X2,…,Xn有 哪兩個(gè)主要性質(zhì)？ ？什么是統(tǒng)計(jì)量的值？ ？ (0,1)分布 ,t分布 ,χ2分布和 F分布的雙側(cè)、下側(cè)、上側(cè)分位點(diǎn)是 如何定義的？怎樣利用附表查這些分位點(diǎn)的值？ ？ ？ 34 第七章 參數(shù)估計(jì) 關(guān)鍵詞： 矩估計(jì)法 極大似然估計(jì)法 置信區(qū)間 置信度 35 ? ?? ?222222 ,1 。 , 2,xXXf x e x??????? ? ? ????? ? ? ? ? ??參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題之一，實(shí)際工作中碰到的總體它的分布類(lèi)型往往是知道的，只是不知道其中的某些參數(shù)，例如：產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo) 服從正態(tài)分布，其概率密度為：但參數(shù) 的值未知，要求估計(jì) ，有時(shí)還希望以一定的可靠性來(lái)估計(jì) 值是在某個(gè)范圍內(nèi)或者不低于某個(gè)數(shù)。參數(shù)估計(jì)問(wèn)題就是要求問(wèn)題的提出：通過(guò)樣本估計(jì)總體分布所包含的未知參數(shù)的值。參數(shù)估計(jì)的兩種方法：點(diǎn)估計(jì)法和區(qū)間估計(jì)法36 167。 1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ? ?? ?? ?1212, , ,1 , 2 , ,? , , ,niii n iX X XikX X Xi?? ? ???? 點(diǎn)估計(jì)的問(wèn)題就是根據(jù)樣本 ，對(duì)每一個(gè)未知參數(shù) ，構(gòu)造出一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ，作為參數(shù) 的估計(jì)，稱(chēng)為 。的估計(jì)量 點(diǎn)估計(jì)有兩種方法：矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法37 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?1 2 1 21 2 1 21。 , , , , , , , , , 1 , 2 , , , , , , ,1 1 , 2 , , , , ,1 1 2 1, , ,2 1 2kkkvv k nnvviiX F xX k E XE X v k X X X Xv A X v kkAknA???? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ???? 設(shè)總體 的分布函數(shù)為 是待估計(jì)的未知參數(shù)，假定總體 的 階原點(diǎn)矩 存在，則有： 對(duì)于樣用樣本矩作為總體矩的估計(jì)，即本其 階樣本：矩是：令? ?? ? ? ?12122 ,?, , , , , ,12kkAk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ??解此方程即得 的一個(gè)矩估計(jì)量? ?一 矩估計(jì)法：38 ? ?121 0 , , , , ,nXX X X X? ? ? ? ????2 2 22例：設(shè)總體 的均值 和方差 都存在，且 ， 均未知，是取自 的一個(gè)樣本，試求 的矩估計(jì)。 11221? 1? ()niiXAA XXn??? ??? ???????? ??? ?? ?2令解：先求總體矩：? ? ? ? ? ? ? ?2 2 212 , E X E X D X E X? ? ? ?? ? ? ? ? ? 22121111 , nniiiiA X X A Xnn??? ? ???再求樣本矩：39 ? ?? ?1122 0 1 0 0 , ,nXxxfxX X X X??????????????例 ：設(shè)總體 的密度為：為未知參數(shù)，其他， 為取自 的樣本，求 的矩估計(jì)。 ? ? ? ?E X x f x d x????? ?解：1??? ?10 x d??? ?1 X?????? ?E X X?令 ? ? 2? 1 X X??? ?40 極大似然估計(jì)法 極大似然估計(jì)的原理介紹 考察以下例子： 假設(shè)在一個(gè)罐中放著許多白球和黑球，并假定已經(jīng)知道兩種球的數(shù)目之比是 1:3，但不知道哪種顏色的球多。如果用返回抽樣方法從罐中任取 n個(gè)球，則其中黑球的個(gè)數(shù)為 x的概率為： 若取 n=3，如何通過(guò) x來(lái)估計(jì) p值 先計(jì)算抽樣的可能結(jié)果 x在這兩種 p值之下的概率： ? ? 31。 , 1 , 44x n xnP x p p q q p px ???? ? ? ????? 其中 由假設(shè)知， 或 0 1 2 3 ? ?34,Pxx164 964 27 64 27 6416427 64 27 64 964? ?14,Px二． 41 ? ? ? ?? ? ? ?? ?143427 31 1 10 , 0 , 0 , ,4 64 4 64 4 1 9 3 27 31 2 , 2 0 , 2 ,4 64 4 64 41? 2 33,x P P pxx P Pxpxxxp? ? ? ? ??? ? ? ???? ?????從上表看到： 取 更合理；類(lèi)似；, 取 更合理； 類(lèi)似； ： 于是有42 ? ? ? ?? ? ? ? ? ??, 。 。 39。 , 39。x p x P x p x P x p P p x?極大似然原 對(duì)每個(gè) 取 , 使 是不同于理：的另一值；? ?? ? ? ?? ? ? ?1122211 , , , , , , , , , ,nnininl nL x x x l n f x l nLL x x x LL x x x????????????說(shuō)明 在求 的最大值時(shí)，通常轉(zhuǎn)稱(chēng)為對(duì)數(shù)似然函換為求：數(shù)通常的最大 ，記為，值? ? ? ?? ? ? ?121 2 1 2, , , , , , , , , ,knnX f xx x x X X X? ? ? ? ? ??? ? ?? 設(shè)總體 的概率密度為 為未知參數(shù)，為參數(shù)空間，即 的取值范圍。設(shè) 是樣本極大的一似然估計(jì)法：個(gè)觀察值：? ? ? ?? ?121121. 2. , , , , , , , , nniinL x x x f xL x x x???? ??? ?作似然函數(shù)求使 達(dá) 稱(chēng)為 的極大到最大的 值， 似然估計(jì)量43 32 ?例 ：求矩估計(jì)部分的例 中 的極大似然估計(jì)量。 221? niinlnX???????????的極大似然估計(jì)值為：? ? ? ? 2111 1 1, nn n ni i ii i iL f x x x??? ? ? ???? ? ???? ? ?????? ? ?解：似然函數(shù)? ? ? ?112 n iinln L ln ln X? ? ??? ? ? ?? ?111 0 22niid ln L n ln Xd??? ? ?? ? ? ??令1niin ln X? ??? ?即： 44 ? ?? ?? ?11 4 , 0 , , , 0 , , , xnexX f xX X X?? ?? ? ? ?????? ???????例 ：設(shè)總體 的概率密度為： 其中 是未知常量其它為 的樣本，求 的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)。 ? ? 1 矩估計(jì)解：? ? ? ?E X x f x d x????? ?? ? ? ?22 1 xE X x e d x??? ??? ??? ?? ?? ? 21 1()niiE X XD X X Xn?? ??? ???? ?令? ?DX21211? () 1? ()niiniiXXnX X Xn?????????? ?? ? ? ?????????? ?1 xx e d x??? ??? ??? ?? ?2 2 xx e d x????? ??? ???? ? 2222? ?? ?? ? ?? ? ? ?2 2 2E X E X ?? ? ?45 ? ? 2 極大似然估計(jì)? ? ? ?11, in xiLe ???? ? ???? ??此處不能通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)獲得 的極大似然估計(jì)量，? ? 111,nii nxnL e L???? ? ? ?? ??? ??另一方面， 是 的增函數(shù)， 取到最大值時(shí)， 達(dá)到最大。? ?12, , , ,inx x m in x x x????故 的取值范圍最大不超過(guò)? ?111 niixin ex?? ?? ??????? ?? ?? ?12 11 0niid ln L n XXd??? ? ?? ? ? ? ??令? ? ? ?121 , , , ,nX m in X X X?? ??故? ?1? XX?? ??? ? ? ?11 ?n iiln L n ln X? ? ???? ? ? ??又46 ? ?125 0 , 0 , , , nXx x x????例 ：設(shè)總體 服從 上的均勻分布， 未知， 試由樣本 求出 的極大似然估計(jì)和矩估計(jì)。 ? ?1 極解： 大似然估計(jì) ? ?1 0。0 xX f x ??? ? ???????因 的概率密度為：其它? ? 121 0 , , ,0 nn x x xL ????? ???? ???故參數(shù) 的似然函數(shù)為：其它? ? ?0,Ld ln nd? ??? ? ? ?由于 不能用微分法求? :L?從義發(fā)以下 定 出 求? ? ? ?120 , , , ,in nx x m a x x x x??? ? ?因?yàn)?故 的取值范圍最小為? ? ? ? ? ?1 ? LnnnL x L x L? ? ? ? ??? ? ?又 對(duì) 的 是減函數(shù)， 越小， 越大，故 時(shí)， 最大；? ? 0 1 2E X x d x X? ??? ? ??由? ?2 矩估計(jì)? ? ? ?12? , , ,LnnX m a x x x x?? ??所以 的極大似然估計(jì)量為? 2 X???47 表 1 例 2，例 4，例 5中兩種估計(jì)方法所得結(jié)果 例 題 矩估計(jì)量 極大似然估計(jì)量 例 2 例 4 例 5 21211? ()1? ()niiniiXXnX X Xn??????? ? ???? 2X?