【正文】 正態(tài)過程 獨(dú)立增量過程 泊松過程 維納過程 第十章 隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述 76 167。 給定一隨機(jī)試驗(yàn) E，其樣本空間 S={e}，將樣本空間中的每一元作如下對應(yīng)，便得到一系列結(jié)果： ( ( ) , ( ) ) ,e X e Y e?12( ( ) , ( ) , ( ) ) ,ne X e X e X e?12( ( ) , ( ) , ) ,e X e X e?( ),e X e?( ( , ) ( , ) ) ,e X e t t? ? ?? ??X 一維即 —— 隨機(jī)變量( , )XY即 —— 二維隨機(jī)變量12( , , )XX即 —— 隨機(jī)序列12( , , , )nX X X n 維即 —— 隨機(jī)變量( ( , ( , ) )X t t ? ? ? ? ?即 —— 隨機(jī)過程77 一維、二維或一般的多維隨機(jī)變量的研究是概率論的研究內(nèi)容，而隨機(jī)序列、隨機(jī)過程則是隨機(jī)過程學(xué)科的研究內(nèi)容。 2 , 16 。假設(shè) 是總體 的一個(gè)樣本， 區(qū)間估計(jì)的方法是給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 使區(qū)間 以一定的可靠程度引：蓋住言。51 糾偏方法 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1?, , , 01 ?17,?,?nnnnE a b a b abanX X XnXX? ? ?????????? ? ? ? ????如果 其中 是常數(shù)，且則 是 的無偏估計(jì)。 ? ? 1 矩估計(jì)解：? ? ? ?E X x f x d x????? ?? ? ? ?22 1 xE X x e d x??? ??? ??? ?? ?? ? 21 1()niiE X XD X X Xn?? ??? ???? ?令? ?DX21211? () 1? ()niiniiXXnX X Xn?????????? ?? ? ? ?????????? ?1 xx e d x??? ??? ??? ?? ?2 2 xx e d x????? ??? ???? ? 2222? ?? ?? ? ?? ? ? ?2 2 2E X E X ?? ? ?45 ? ? 2 極大似然估計(jì)? ? ? ?11, in xiLe ???? ? ???? ??此處不能通過求偏導(dǎo)數(shù)獲得 的極大似然估計(jì)量，? ? 111,nii nxnL e L???? ? ? ?? ??? ??另一方面， 是 的增函數(shù)， 取到最大值時(shí)， 達(dá)到最大。如果用返回抽樣方法從罐中任取 n個(gè)球，則其中黑球的個(gè)數(shù)為 x的概率為： 若取 n=3，如何通過 x來估計(jì) p值 先計(jì)算抽樣的可能結(jié)果 x在這兩種 p值之下的概率： ? ? 31。 , 2,xXXf x e x??????? ? ? ????? ? ? ? ? ??參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題之一，實(shí)際工作中碰到的總體它的分布類型往往是知道的，只是不知道其中的某些參數(shù)，例如：產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo) 服從正態(tài)分布，其概率密度為：但參數(shù) 的值未知，要求估計(jì) ，有時(shí)還希望以一定的可靠性來估計(jì) 值是在某個(gè)范圍內(nèi)或者不低于某個(gè)數(shù)。 2 常用的分布 ? ? ? ? ?? ?? ?? ?12 2 22221, , 0 , 1 1 , 2 , , 11nniniiZ Z Z ZnZN i nn ??????????設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立， 則稱 服從自由度為 的 ， 定 指 式右端包含分布 記為自 的獨(dú)立變度義：由 量的個(gè)數(shù)? ? ? ? ? ?? ?2212101 02 22 0 6 0.3nynxyeyn f y nyx e dx?????????? ???? ??? ?? ??????? ?分布的概率密度為： 其理中定：2? 分布x()fx010n?1n?4n?2? 分布的概率密度函數(shù)24 2? 分布的一些重要性質(zhì)：? ? ? ? ? ?2 2 2 21 . , , 2n E n D n? ? ? ?? ? ?設(shè) 則有? ? ? ? ? ?2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22. , , ,Y n Y n Y Y Y Y n n? ? ?? ? ? ? ?設(shè) 且 相互獨(dú)立，則有22 ? 分布的可加性性質(zhì) 稱為 ，可推廣到有限個(gè)的情形：? ?221211, , , , mmi i m i iiiY n Y Y Y Y n????????????設(shè) 且 相互獨(dú)立，則? ?? ? ? ?? ? ? ?222 22, 0 1 ,nn f dynynn???????? ? ?? ? ??? ? ?? 為分布的上 分對給定的概率 稱滿足條件 的點(diǎn)上 分位數(shù) 的值可查位數(shù) 分布表? ?2 n??02? 分布的分位數(shù)x()fx?25 221()n iiZ??????由此得統(tǒng)計(jì)量 的密度函數(shù)為： ? ? ? ?2122211 , , , , ,( ) nniiZ N Z Z Z ZZ? ? ????????例：設(shè)總體 已知。 個(gè)體： 組成總體的每個(gè)元素。設(shè)老年人死亡 率為 ，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)虧本的概率。 1 大數(shù)定律 背景 本章的大數(shù)定律，對第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證 為了證明大數(shù)定理，先介紹一個(gè)重要不等式 9 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?222225. 1 ,0, 1Z E Z D ZP Z E ZP Z E Z???????????? ? ? ?? ? ? ?定理 契比雪夫不等式 ：設(shè)隨機(jī)變量 具有數(shù)學(xué)期望 方差 則對于任意 都有：定理的 為：等價(jià)形式? ? ? ? ,Z Z f x證明：僅就 為連續(xù)型時(shí)證之 設(shè) 的概率密度為? ? ? ?xP Z f x d x??????? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x d x???????? ?? ? ? ?221 x f x d x?? ???????? ? 222DZ ?????()fx??? ????10 例 1：在 n重貝努里試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)事件 A出 現(xiàn) 的概率為 ，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁焦烙?jì) n,使 A出現(xiàn)的頻率在 。 ? ?5 .3 , 0 , 1AAnA p n nnA lim P pn??? ? ???? ? ? ? ?????定理 貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，記 為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中 發(fā)生的次數(shù) 則 有：? ?,An b n p?證明：利用契比雪夫不等式，因 故：? ?11 ,A AnE E n n p pn n n?? ? ? ? ?????20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有? ?2211A An pqD D n n p qnnnn?? ? ? ? ?????1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：13 167。在概率論中已經(jīng)知道，由于大 量的 隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的 規(guī)律 性，因而從理論上講只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行 足夠多次觀察，各種結(jié)果的規(guī)律性一定能清楚 地呈現(xiàn)，但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是有限 的，甚至是 少量的。 隨機(jī)樣本： 隨機(jī)抽取的 n個(gè)個(gè)體的集合 (Z1,Z2,?,Z n), n為樣本容量 簡單隨機(jī)樣本： 滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本 (Z1,Z2,?,Z n)稱 為簡單隨機(jī)樣本。 分布的上 分位數(shù)可 位數(shù) 查分 分布表t?分布? ? ? ? ? ?? ? 121 2226 . 4 , 1 , nnntt n f t n tnn ????? ??? ? ? ? ? ? ? ??????定理 ： 分布的概率密度為：?? ?tn???fxx0t分布的分位數(shù)10n?313? x()fx1n?4n?202? 1?t分布的密度函數(shù)27 ? ? ? ?? ? ? ?221211 2 1 2212, , ,/,/ Z n Y n Z YZnF n n F F F n nYnnn?????設(shè) 且 獨(dú)立， 則稱隨機(jī)變量 服定義：從自由度 的 分布，記為 其中 稱為第一自由度， 稱為第二自由度F分布? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?121 2 12 2 212121 2 2 122121 110 ,1 0, 。 1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ? ?? ?? ?1212, , ,1 , 2 , ,? , , ,niii n iX X XikX X Xi?? ? ???? 點(diǎn)估計(jì)的問題就是根據(jù)樣本 ，對每一個(gè)未知參數(shù) ，構(gòu)造出一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ，作為參數(shù) 的估計(jì)，稱為 。 39。0 xX f x ??? ? ???????因 的概率密度為：其它? ? 121 0 , , ,0 nn x x xL ????? ???? ???故參數(shù) 的似然函數(shù)為：其它? ? ?0,Ld ln nd? ??? ? ? ?由于 不能用微分法求? :L?從義發(fā)以下 定 出 求? ? ? ?120 , , , ,in nx x m a x x x x??? ? ?因?yàn)?故 的取值范圍最小為? ? ? ? ? ?1 ? LnnnL x L x L? ? ? ? ??? ? ?又 對 的 是減函數(shù)， 越小， 越大，故 時(shí)， 最大；? ? 0 1 2E X x d x X? ??? ? ??由? ?2 矩估計(jì)? ? ? ?12? , , ,LnnX m a x x x x?? ??所以 的極大似然估計(jì)量為? 2 X???47 表 1 例 2，例 4，例 5中兩種估計(jì)方法所得結(jié)果 例 題 矩估計(jì)量 極大似然估計(jì)量 例 2 例 4 例 5 21211? ()1? ()niiniiXXnX X Xn??????? ? ???? 2X? ? ? ?? nX? ?? ?? ?11??XXX?????221?L niinlnX??????????? ?2? 1 XX? ? ?48 167。52 有效性 ? ? ? ?121212,DD? ? ?? ? ???? ? ?設(shè) 是 的兩個(gè)無偏估計(jì)， 如果 對一切 成立 則稱：比定義有效。58 單側(cè)置信區(qū)間 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?1 111 1 71, 7, 1 , 2,1,nnXXPXX? ? ?????????? ? ? ? ? ??? ?為 的單側(cè)置信下限在以上定義中，若將 式改為：則稱隨機(jī)區(qū)間 是 的置信度為 單側(cè)置 的 。為了評估新蘋果 她隨機(jī)挑選了 個(gè)測試重量 單位：克 其樣本方差為 試求 的置信度為 ％和的 ％的置信區(qū)間