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概率論復(fù)習(xí)資料ppt課件-展示頁(yè)

2025-05-13 02:54本頁(yè)面
  

【正文】 ? 多元線性回歸 6 ? 第十章 隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述 ? 隨機(jī)過(guò)程的概念 ? 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述 ? 泊松過(guò)程及維納過(guò)程 ? 第十一章 馬爾可夫鏈 ? 馬爾可夫過(guò)程及其概率分布 ? 多步轉(zhuǎn)移概率的確定 ? 遍歷性 ? 第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 ? 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ? 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 7 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞: 契比雪夫不等式 大數(shù)定律 中心極限定理 8 167。 n A Z解:設(shè)在 重貝努里試驗(yàn)中,事件 出現(xiàn)的次數(shù)為 ,? ?, 0. 75Z b n?則,? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E Z n p n D Z n p q n? ? ? ?? ?n ZfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1ZP P Z n nn? ? ? ? ?而? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??11 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?1 2 , , , ,0 , 0 ,nnnZ Z Zl i m P ZZpZn?? ? ???? ? ?? ? ? ? ???? 。 ? ?5 .3 , 0 , 1AAnA p n nnA lim P pn??? ? ???? ? ? ? ?????定理 貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ,記 為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中 發(fā)生的次數(shù) 則 有:? ?,An b n p?證明:利用契比雪夫不等式,因 故:? ?11 ,A AnE E n n p pn n n?? ? ? ? ?????20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是, 有? ?2211A An pqD D n n p qnnnn?? ? ? ? ?????1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得:13 167。 ? ?5. 4 定理 獨(dú)立同分布的中心極限定理? ? ? ?? ?? ?221211 2, , , , , , 1 , 2 ,1,20 , 1n i iniinni txinnnnZ Z Z E Z D Z iZnnYnZnx R l i m P Y x l i m P x e d tnn Y N??????????? ?? ? ?? ??? ? ????????? ? ? ? ? ??????????設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立同分布,則前 個(gè)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為:有: 證明略。 1 2 161 6 , , , ,Z Z Z解:記 只電器元件的壽命分別為16116 iiZZ?? ?則 只電器元件的壽命總和為 ,? ? ? ? 210 0 , 10 0iiE Z D Z??由題設(shè)? ?1611 6 1 0 01600 0 , 14 1 0 0 4 0 0iiZZzN????????根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理: 近似服從? ? ? ? 19 20 1 19 20P Z P Z? ? ? ?? ?1 6 0 0 1 9 2 0 1 6 0 01 4 0 0 4 0 0ZP ??? ? ?? ?1 19?? ? ?16 例 3:某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有 1萬(wàn)人參加,每人每年交 200 元 , 若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給受益人 1萬(wàn)元。 ? ?200PZ??? ?, , 1 0 0 0 0 , 0 .0 1 7Z Z b n p n p? ? ?解:設(shè) 為一年中投保老人的死亡數(shù),則由德莫佛拉普拉斯中心極限定理,保險(xiǎn)公司虧本的概率為:? ?10 00 0 10 00 0 20 0PZ ??? ? ? ?20011Z np npPnp p np p????????????? ? Z npPnp p??????????? ?1 1 ?? ? ?17 例 4:設(shè)某工廠有 400臺(tái)同類機(jī)器,各臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概 率都是 ,各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)立的,試求機(jī) 器出故障的臺(tái)數(shù)不小于 2的概率。在概率論中已經(jīng)知道,由于大 量的 隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的 規(guī)律 性,因而從理論上講只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行 足夠多次觀察,各種結(jié)果的規(guī)律性一定能清楚 地呈現(xiàn),但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是有限 的,甚至是 少量的。 20 167。如一批燈泡。如某個(gè)燈泡。 隨機(jī)樣本: 隨機(jī)抽取的 n個(gè)個(gè)體的集合 (Z1,Z2,?,Z n), n為樣本容量 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本: 滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本 (Z1,Z2,?,Z n)稱 為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 常用統(tǒng)計(jì)量: 設(shè)( Z1,Z2,?,Z n)為取自總體 Z的樣本 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?221 2 31 2 3 2 1 2 3323121, , , , 1 2 2 3 m a x , , 1 4 5 ZiiN Z Z ZZ Z Z Z Z Z ZZZ? ? ? ??? ?? ? ???思考題:設(shè)在總體 中抽取樣本 其中 已知, 未知 指出在中哪些是統(tǒng)計(jì)量,哪些不是統(tǒng)計(jì)量, 為什么?111 . n iiZZn?? ?樣本均值? ?? ?1113 . 1 , 2 ,1 ( ) 1 , 2 ,nkkiinkkiik A Z knk B Z Z kn????? ? ???樣本矩 階矩:階中心矩:22112 . ( ) ,1 n iiS Z Z Sn???? ?樣本方差 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差22 隨機(jī)變量獨(dú)立性的兩個(gè)定理 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 1 112111121 1 2 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , 1 , 2 , 6. 1 iikinni n nn n n k k nknnZ Z Z ny g x x x x R i k knnY g Z Z Y g Z Z Y gn n kZZ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?設(shè) 是相互獨(dú)立的 個(gè)隨機(jī)變量, 又設(shè) 是 個(gè)連續(xù)函數(shù), 且有 則 個(gè)隨機(jī)變量: 是相互定 理: 獨(dú)立的。23 167。 是取自總體 的樣本 求統(tǒng)計(jì)量 的分布。 分布的上 分位數(shù)可 位數(shù) 查分 分布表t?分布? ? ? ? ? ?? ? 121 2226 . 4 , 1 , nnntt n f t n tnn ????? ??? ? ? ? ? ? ? ??????定理 : 分布的概率密度為:?? ?tn???fxx0t分布的分位數(shù)10n?313? x()fx1n?4n?202? 1?t分布的密度函數(shù)27 ? ? ? ?? ? ? ?221211 2 1 2212, , ,/,/ Z n Y n Z YZnF n n F F F n nYnnn?????設(shè) 且 獨(dú)立, 則稱隨機(jī)變量 服定義:從自由度 的 分布,記為 其中 稱為第一自由度, 稱為第二自由度F分布? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?121 2 12 2 212121 2 2 122121 110 ,1 0, 。 , ,F n nf x n n dx F n nF n n F n n F???? ? ???? ? ?? 對(duì)于給定的 稱滿足條件 的點(diǎn)為 分布的上 分位數(shù)。30 正態(tài)總體樣本均值和方差的分布 ? ? ? ?? ?? ?? ?222122222 , , , , , 1. ,1 2. 1 3. nnZ Z Z N Z SZNnSnZS?????????設(shè) 是總體 的樣本, 分別是樣本均值和樣本方差,則有:和定理 :相互獨(dú)立? ? ? ? ? ? ? ?221/ / 1 1/tnZnSZ n t nSn??????? ? ? ?且兩者獨(dú)立,由 分布定義得:? ? ? ?? ? ? ?2216. ,7 ,1 nZ Z N Z SnZ tnS???? ?設(shè) 是總體 的樣本, 和 分別是樣本 均值和樣本方差,則有:定理 :? ? ? ? ? ?2 2216 . 6 0 , 1 , 1/ nSX Nnn? ??? ?? ?證明:由定理 知,31 ? ?? ?? ?? ?? ?21112 2 21 2 1122 2 22 2 1 2222111 , 111FnSnSF n nn S Sn??????? ? ???且兩者獨(dú)立,由 分布的定義,有:? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?221 1 1 1 2 222122221122212122 2 21 2 1 212 , , , , , , 1 1 , 1 2 211 6 .8nnWX X Y Y N NSSSF F n nSXYt n nSnn? ? ? ?????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ??設(shè)樣本 和 分別來(lái)自總體 和 并且它們相互獨(dú)立,其樣本方差分別為則:當(dāng) 時(shí),定理 :? ? ? ?221 1 2 2221211 ,2W W Wn S n SS S Snn? ? ?????其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122212116 . 6 1 , 1n S n Snn?????? ??證明:1 由定理 知,? ? ? ? ? ?12120 , 111XYUNnn???? ? ???即有:? ? 221212122 ,X Y N nn??????? ? ?????易知2, ?且它們相互獨(dú)立 故有 分布的可加性知:? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122211 1 , 1n S n Snn?????? ??又由給定條件知: ,UV由定理 知: 與 相互獨(dú)立? ? ? ? ? ?221 1 2 2 212211 2n S n SV n n??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?12 12121222 11wtXYUt n nV n n Snn??? ? ?? ? ??????????從而按 分布定義知: 33 復(fù)習(xí)思考題 6 ?什么叫簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本?總體 X的樣本 X1,X2,…,Xn有 哪兩個(gè)主要性質(zhì)? ?什么是統(tǒng)計(jì)量的值? ? (0,1)分布 ,t分布 ,χ2分布和 F分布的雙側(cè)、下側(cè)、上側(cè)分位點(diǎn)是 如何定義的?怎樣利用附表查這些分位點(diǎn)的值? ? ? 34 第七章 參數(shù)估計(jì)
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