【正文】 ? 多元線性回歸 6 ? 第十章 隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述 ? 隨機(jī)過(guò)程的概念 ? 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述 ? 泊松過(guò)程及維納過(guò)程 ? 第十一章 馬爾可夫鏈 ? 馬爾可夫過(guò)程及其概率分布 ? 多步轉(zhuǎn)移概率的確定 ? 遍歷性 ? 第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 ? 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ? 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 7 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞： 契比雪夫不等式 大數(shù)定律 中心極限定理 8 167。 n A Z解：設(shè)在 重貝努里試驗(yàn)中，事件 出現(xiàn)的次數(shù)為 ，? ?, 0. 75Z b n?則,? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E Z n p n D Z n p q n? ? ? ?? ?n ZfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1ZP P Z n nn? ? ? ? ?而? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??11 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?1 2 , , , ,0 , 0 ,nnnZ Z Zl i m P ZZpZn?? ? ???? ? ?? ? ? ? ???? 。 ? ?5 .3 , 0 , 1AAnA p n nnA lim P pn??? ? ???? ? ? ? ?????定理 貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，記 為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中 發(fā)生的次數(shù) 則 有：? ?,An b n p?證明：利用契比雪夫不等式，因 故：? ?11 ,A AnE E n n p pn n n?? ? ? ? ?????20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有? ?2211A An pqD D n n p qnnnn?? ? ? ? ?????1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：13 167。 ? ?5. 4 定理 獨(dú)立同分布的中心極限定理? ? ? ?? ?? ?221211 2, , , , , , 1 , 2 ,1,20 , 1n i iniinni txinnnnZ Z Z E Z D Z iZnnYnZnx R l i m P Y x l i m P x e d tnn Y N??????????? ?? ? ?? ??? ? ????????? ? ? ? ? ??????????設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立同分布，則前 個(gè)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為：有： 證明略。 1 2 161 6 , , , ,Z Z Z解：記 只電器元件的壽命分別為16116 iiZZ?? ?則 只電器元件的壽命總和為 ,? ? ? ? 210 0 , 10 0iiE Z D Z??由題設(shè)? ?1611 6 1 0 01600 0 , 14 1 0 0 4 0 0iiZZzN????????根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理: 近似服從? ? ? ? 19 20 1 19 20P Z P Z? ? ? ?? ?1 6 0 0 1 9 2 0 1 6 0 01 4 0 0 4 0 0ZP ??? ? ?? ?1 19?? ? ?16 例 3：某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有 1萬(wàn)人參加，每人每年交 200 元 , 若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人 1萬(wàn)元。 ? ?200PZ??? ?, , 1 0 0 0 0 , 0 .0 1 7Z Z b n p n p? ? ?解：設(shè) 為一年中投保老人的死亡數(shù)，則由德莫佛拉普拉斯中心極限定理，保險(xiǎn)公司虧本的概率為：? ?10 00 0 10 00 0 20 0PZ ??? ? ? ?20011Z np npPnp p np p????????????? ? Z npPnp p??????????? ?1 1 ?? ? ?17 例 4：設(shè)某工廠有 400臺(tái)同類機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概 率都是 ，各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)立的，試求機(jī) 器出故障的臺(tái)數(shù)不小于 2的概率。在概率論中已經(jīng)知道，由于大 量的 隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的 規(guī)律 性，因而從理論上講只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行 足夠多次觀察，各種結(jié)果的規(guī)律性一定能清楚 地呈現(xiàn)，但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是有限 的，甚至是 少量的。 20 167。如一批燈泡。如某個(gè)燈泡。 隨機(jī)樣本： 隨機(jī)抽取的 n個(gè)個(gè)體的集合 (Z1,Z2,?,Z n), n為樣本容量 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本： 滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本 (Z1,Z2,?,Z n)稱 為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 常用統(tǒng)計(jì)量： 設(shè)（ Z1,Z2,?,Z n）為取自總體 Z的樣本 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?221 2 31 2 3 2 1 2 3323121, , , , 1 2 2 3 m a x , , 1 4 5 ZiiN Z Z ZZ Z Z Z Z Z ZZZ? ? ? ??? ?? ? ???思考題：設(shè)在總體 中抽取樣本 其中 已知， 未知 指出在中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量， 為什么？111 . n iiZZn?? ?樣本均值? ?? ?1113 . 1 , 2 ,1 ( ) 1 , 2 ,nkkiinkkiik A Z knk B Z Z kn????? ? ???樣本矩 階矩：階中心矩：22112 . ( ) ,1 n iiS Z Z Sn???? ?樣本方差 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差22 隨機(jī)變量獨(dú)立性的兩個(gè)定理 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 1 112111121 1 2 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , 1 , 2 , 6. 1 iikinni n nn n n k k nknnZ Z Z ny g x x x x R i k knnY g Z Z Y g Z Z Y gn n kZZ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?設(shè) 是相互獨(dú)立的 個(gè)隨機(jī)變量， 又設(shè) 是 個(gè)連續(xù)函數(shù)， 且有 則 個(gè)隨機(jī)變量： 是相互定 理： 獨(dú)立的。23 167。 是取自總體 的樣本 求統(tǒng)計(jì)量 的分布。 分布的上 分位數(shù)可 位數(shù) 查分 分布表t?分布? ? ? ? ? ?? ? 121 2226 . 4 , 1 , nnntt n f t n tnn ????? ??? ? ? ? ? ? ? ??????定理 ： 分布的概率密度為：?? ?tn???fxx0t分布的分位數(shù)10n?313? x()fx1n?4n?202? 1?t分布的密度函數(shù)27 ? ? ? ?? ? ? ?221211 2 1 2212, , ,/,/ Z n Y n Z YZnF n n F F F n nYnnn?????設(shè) 且 獨(dú)立， 則稱隨機(jī)變量 服定義：從自由度 的 分布，記為 其中 稱為第一自由度， 稱為第二自由度F分布? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?121 2 12 2 212121 2 2 122121 110 ,1 0, 。 , ,F n nf x n n dx F n nF n n F n n F???? ? ???? ? ?? 對(duì)于給定的 稱滿足條件 的點(diǎn)為 分布的上 分位數(shù)。30 正態(tài)總體樣本均值和方差的分布 ? ? ? ?? ?? ?? ?222122222 , , , , , 1. ,1 2. 1 3. nnZ Z Z N Z SZNnSnZS?????????設(shè) 是總體 的樣本， 分別是樣本均值和樣本方差，則有：和定理 ：相互獨(dú)立? ? ? ? ? ? ? ?221/ / 1 1/tnZnSZ n t nSn??????? ? ? ?且兩者獨(dú)立，由 分布定義得：? ? ? ?? ? ? ?2216. ,7 ,1 nZ Z N Z SnZ tnS???? ?設(shè) 是總體 的樣本， 和 分別是樣本 均值和樣本方差，則有：定理 ：? ? ? ? ? ?2 2216 . 6 0 , 1 , 1/ nSX Nnn? ??? ?? ?證明：由定理 知，31 ? ?? ?? ?? ?? ?21112 2 21 2 1122 2 22 2 1 2222111 , 111FnSnSF n nn S Sn??????? ? ???且兩者獨(dú)立，由 分布的定義，有：? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?221 1 1 1 2 222122221122212122 2 21 2 1 212 , , , , , , 1 1 , 1 2 211 6 .8nnWX X Y Y N NSSSF F n nSXYt n nSnn? ? ? ?????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ??設(shè)樣本 和 分別來(lái)自總體 和 并且它們相互獨(dú)立，其樣本方差分別為則：當(dāng) 時(shí)，定理 ：? ? ? ?221 1 2 2221211 ,2W W Wn S n SS S Snn? ? ?????其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122212116 . 6 1 , 1n S n Snn?????? ??證明：1 由定理 知，? ? ? ? ? ?12120 , 111XYUNnn???? ? ???即有：? ? 221212122 ,X Y N nn??????? ? ?????易知2, ?且它們相互獨(dú)立 故有 分布的可加性知：? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122211 1 , 1n S n Snn?????? ??又由給定條件知： ,UV由定理 知： 與 相互獨(dú)立? ? ? ? ? ?221 1 2 2 212211 2n S n SV n n??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?12 12121222 11wtXYUt n nV n n Snn??? ? ?? ? ??????????從而按 分布定義知： 33 復(fù)習(xí)思考題 6 ？什么叫簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本？總體 X的樣本 X1,X2,…,Xn有 哪兩個(gè)主要性質(zhì)？ ？什么是統(tǒng)計(jì)量的值？ ？ (0,1)分布 ,t分布 ,χ2分布和 F分布的雙側(cè)、下側(cè)、上側(cè)分位點(diǎn)是 如何定義的？怎樣利用附表查這些分位點(diǎn)的值？ ？ ？ 34 第七章 參數(shù)估計(jì)