【正文】 空格 H W E D G T L B O U V A C K N F X I M J R P Q S Y Z 結(jié)論：可能性的大小具有穩(wěn)定性 注 1：頻率與試驗(yàn)有關(guān)，是不確定的數(shù)，但概率是事件的客觀屬性，是確定的數(shù) . 注 2：給出一個(gè)求概率的方法 , 如果在某一組條件下，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多，事件 A出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近作微小擺動(dòng)，稱常數(shù) p為事件 A的概率。為不可能事件，則 W(216。 事件 A與 B相等；記作 A =B，表示 A B 并且 B A. 例如 : … ??A B ? 事件 的關(guān)系及運(yùn)算 : 1. 事件 A 包含 B （ B 包含于 A ）：表示事 件 B 發(fā)生事件 A 必然 發(fā)生， 記作 A B ? （或 B A ? ）。 (3) 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) . 故為隨機(jī)試驗(yàn) . 1.“拋擲一枚骰子 ,觀察出 現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) ” . 2.“從一批產(chǎn)品中 ,依次任 選三件 ,記錄出現(xiàn)正品 與次品的件數(shù) ” . 同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn) 10 月份的 平均氣溫 . 在隨機(jī)試驗(yàn)中 , 可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。 3. 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) . 定義 1： 在概率論中 ,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為 隨機(jī)試驗(yàn) . 隨機(jī)試驗(yàn)（簡(jiǎn)稱試驗(yàn)） 說(shuō)明 ：隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，通常用 E 來(lái)表示 實(shí)例 “ 拋擲一枚硬幣 ,觀察字面 ,花面出現(xiàn)的情況 ” . 分析 : (1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行 。 第一節(jié) 隨機(jī)事件及其概率 第二節(jié) 概率基本運(yùn)算法則 及其應(yīng)用 第三節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布 第四節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第五節(jié) * 大數(shù)定律和中心極限定理 隨機(jī)事件 事件關(guān)系及運(yùn)算 隨機(jī)事件的概率 第一節(jié) 隨機(jī)事件及其概率 隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的 . 問(wèn)題 什么是隨機(jī)試驗(yàn) ? 隨機(jī)事件 1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行 。 例 3. 同一種病用同一種藥的結(jié)果 概率論研究的對(duì)象是：隨機(jī)現(xiàn)象 概率論研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，研究隨機(jī)現(xiàn)象什么問(wèn)題呢？ 在大量試驗(yàn)或觀察中 , 這種隨機(jī)現(xiàn) 象中出現(xiàn)的各種結(jié)果具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī) 律性 , （舉例）。概率論研究的對(duì)象是什么？ 現(xiàn)象 確定現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象 引 言 第七章 概率論基礎(chǔ) 問(wèn)題提出 ； 100度 (標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下 )。 . 確定性現(xiàn)象 : 在一定條件下必然發(fā)生 (必然不發(fā)生 )的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象 例 1. 拋擲硬幣， 出現(xiàn)正面還是反面？ 例 2. 車站等車人數(shù)。概率論就是研究隨機(jī) 現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 . 本章主要內(nèi)容： 隨機(jī)事件及其概率 隨機(jī)變量及其分布和數(shù)字特征 大數(shù)定律和中心極限定理 概率論在氣象、生物學(xué)、臨床醫(yī)學(xué)、數(shù)理 統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)、軍事等各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 2. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè) ,并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 。 (2) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 : 字面、花面 。用 A,B,C表示，如擲一枚骰子 基本事件 必然事件 復(fù)合事件 不可能事件 ? 所有基本事件組成的集合，成為樣本空 間，記為 Ω ，不包含任何基本事件的空 集記作 216。例如 :A （擲出奇數(shù)點(diǎn)） B( 擲出一點(diǎn) ) A + B AB ? 4. 事件 A 與 B 的 交事件 ；表示 A 與 B 兩 事件都發(fā)生 ，記 作 A ∩ B ， ( 也記 作 AB ) ，即 . 例如 : A與 B的差事件： 表示 A發(fā)生而 B不發(fā)生 ， 記作 AB， 例如 : … ?AB 6. 互不相容或互斥事件：若 A 與 B 兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即 A ∩ B= ? ，就稱A 與 B 互不相容 . 例如 : A B ? 7. 如果事件 A 與 B 不能同時(shí)發(fā)生，并且 A 與 B 至少發(fā)生一個(gè)，即 A ∩ B= ? 且 A ∪ B= ? , 就說(shuō) B 是 A 的逆事件（或?qū)α⑹录?；記?B= A ( 或c? ) ；此時(shí) A 也是 B 的逆事件 . 例如 : ? ?B A 幾個(gè)成立的等式 （ 1 ） A ? ? ? （ 2 ） AA? ? ? （ 3 ） AA ? （ 4 ） A B A B?? （ 5 ） A B AB?? 例 1 設(shè)有三人做尿常規(guī)化驗(yàn)，用 A表示至少有一人不正常， B表示三人都正常， C表示三人中恰有一人不正常，試問(wèn)哪些是對(duì)立事件？哪些是互斥事件？B+C,A∩C,A – C各表示何實(shí)際意義？ 解：事件 A與 B是對(duì)立的， 事件 B與 C和事件 A與 B均是互斥事件， B +C表示最多一人不正常， A∩C=C 表示恰有一個(gè)人不正常， A – C表示至少有二人不正常 例 2 設(shè) A、 B、 C三事件，則如何表示： A發(fā)生而 B與 C都不發(fā)生可表示為 A與 B都發(fā)生而 C不發(fā)生可表示為 這三個(gè)事件恰好發(fā)生兩個(gè)可表示為 這三個(gè)事件不多于一事件發(fā)生可表示為 A、 B、 C不都發(fā)生可表示為 ()A B C A B C A B C? ? ? ?或 或A B C A B C A B A B C??或 或A B C A B C A B C??A B C A B C B A C C A BA B B C A C? ? ???或A B C A B C A B C B A CC A B A B C A C B B C A? ? ?? ? ?或定義 2：大量重復(fù)試驗(yàn) （ 觀察 ） Ｎ次 ， Ａ出現(xiàn) m次 ， 事件 A的頻率為：頻率 W(A)= 一、頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義 隨機(jī)事件的概率 mN： 0≤W(A) ≤1 : 若 A與 B是兩個(gè)不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件 ， 以 A+B表示 A或 B至少出現(xiàn)其一這個(gè)事件 ， 則 W(A+B)=W(A)+W(B) 頻率的性質(zhì)： : Ω 為必然事件，則 W(Ω )=1， 216。)=0 例 3 表 71 擲幣試驗(yàn) 試驗(yàn)者 投擲次數(shù) N 正面數(shù) m 頻率 De Mram 2048 1061 Buffon 4040 2048 Pearson 12022 6019 Pearson 24000 12022 結(jié)論：大量重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)正面頻率接近 50%。記作 P(A)=p. 定義 3（概率的統(tǒng)計(jì)定義） l i m ( ) ( )nnA P AW???例 5人類的血型可以分成 A、 B、 O和 AB四種類型 ，倫敦的一個(gè)血液中心記錄了若干年里供血者的 血型，其 O型頻率 ， A型頻率 ， B型頻 率 ， AB型頻率 ，那么以頻率表示概率， 從英國(guó)人中隨意抽出一人驗(yàn)血型是 B型的概率為： P（ B） =，同理 P（ AB） =， P（ O） =， P（ A） = 醫(yī)學(xué)應(yīng)用 ： 0≤P(A) ≤1 : Ω 為必然事件，則 P(Ω )=1，216。)=0 : 若 A與 B是兩個(gè)不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件 ， 以 A+B表示 A或 B至少出現(xiàn)其一這個(gè)事件 ， 則 P(A+B)=P(A)+P(B) （統(tǒng)計(jì)）概率的性質(zhì)： 二、概率的古典定義 定義 4：若隨機(jī)試驗(yàn)有且只有 n個(gè)基本事件，且每個(gè)基本事件的概率都為 1/n, 則稱為等概基本事件組 . 如 B事件是其中 m個(gè)基本事件之和，則 B發(fā)生的概率為 : P(B)=m/n 例 6 瓶中裝有 30片藥，其中 6片已經(jīng)失效，現(xiàn)從瓶中任取 5片，求其中 2片失效的概率？ 解： 設(shè) B為 “ 現(xiàn)從瓶中任取 5片，其中 2片失效 ” 的事件 n=C305=142506 m=C62C243=30360 P(B)= C62C243 /C305= 例 7 設(shè)有 n個(gè)球，每個(gè)都能以同樣的概率 1/m落到 m個(gè)格子（ m≥ n）的每一個(gè)格子中，試求 : n個(gè)格子中各有一球的概率？ n個(gè)格子中各有一球的概率； 解： ∵ 每個(gè)球可落入 m（ ≥ n）個(gè)格子中的任一個(gè) ∴n 個(gè)球在 m個(gè)格子中的排列相當(dāng)于從 m個(gè)元 素中選取 n個(gè)進(jìn)行有重復(fù)的排列， 故共有 mn種基本事件總數(shù) 第一題， n個(gè)球在指定的 n個(gè)格子中全排列 n！ 因此概率為 n！ /mn 第二題，從 m個(gè)格子中任意選出 n個(gè)格子， 有 Cmn種，對(duì)于每種選定的 n個(gè)格子，如第一 題的全排列 n！，所求基本事件的個(gè)數(shù)為 Cmnn！ / mn 第二節(jié) 概率基本運(yùn)算法則 及其應(yīng)用 概率的加法定理 條件概率和乘法公式 事件的獨(dú)立性 全概率公式與貝葉斯公式 問(wèn)題提出 則 A+B包含的基本事件共有 M1＋ M2個(gè)，于是得 證： 按概率的古典定義來(lái)證明 設(shè)試驗(yàn)的可能結(jié)果是由 N個(gè)基本事件總數(shù)構(gòu) 成，其中事件 A包含 M1個(gè)，事件 B包含 M2個(gè)， 由于事件 A與 B互不相容，所以 A包含的基本事件與 B包含的基本事件一定是完全不相同的， 概率的加法定理 定理 1 兩個(gè)互不相容事件 A與 B的和事件的概率等于事件 A的概率與事件 B的概率之和，即 P(A+B)＝ P(A)+P(B)。 解 : 設(shè) A為 “ 取到 3支針劑中有不合格品 ” 事件 , Ai為 “ 取到 3支針劑中有 i支是不合格品 ” 事件 ,i=1,2,3,顯然 A1,A2,A3互不相容 ,且 A= A1+A2+A3 由定理 1知 P(A)= 另解法 :由推論 2可得 P(A) P(A1)+P(A2)+P(A3) = 1()PA ?125 45350CCC?0 .2 5