【正文】 分布 b(m,p)、泊松分布 ∏ (λ )、均勻分布 U(a,b)、正態(tài)分布 N(μ,σ2)中有關(guān)參數(shù)的矩估計(jì)式 ？ ？ ？你能理解它們的含義嗎？ ？對(duì)正態(tài)總體，試從有關(guān) 的統(tǒng)計(jì)量自行導(dǎo)出幾類(lèi)參數(shù)的置信區(qū)間？ ？置信度、區(qū)間長(zhǎng)度和樣本容量的關(guān)系怎樣？ ? ? ? ? ? ?122121,1 ( ) ,1 ( ) ,4. ,niiniiX n X XnS X XnE X E X E S D X??????????總體 有容量為 的樣本 樣本均值 樣本方差有性質(zhì) 這是否只對(duì)正態(tài)總體成立？74 復(fù)習(xí)思考題 8 ？其中使用了一條什么原理？ α的意義是什么？ 、左邊和右邊檢驗(yàn)的拒絕域。? ?? ?? ? ? ?? ?? ?222 1172, , 1 , , , 7 31nnXXP X X? ? ????? ? ??? ? ? ? ? ???? ?又若將 式改為：則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間 是 的置信度為 為的的單側(cè)置信上限單。0, n?? ? ? ? ?由契比雪夫不等式， 當(dāng) 時(shí)，? ? ? ?11 2DP ?? ? ? ?? ? ?有： 2 2 03n??? ?12? ? ?所以 和 都是 的相合估計(jì)。49 ? ? ? ? 2226 , ,X E X D XXS??????例 ：設(shè)總體 的一階和二階矩存在，分布是任意的，記 證明：樣本均值 和樣本方差 分別是 和 的無(wú)偏估計(jì)。x p x P x p x P x p P p x?極大似然原 對(duì)每個(gè) 取 , 使 是不同于理：的另一值；? ?? ? ? ?? ? ? ?1122211 , , , , , , , , , ,nnininl nL x x x l n f x l nLL x x x LL x x x????????????說(shuō)明 在求 的最大值時(shí)，通常轉(zhuǎn)稱(chēng)為對(duì)數(shù)似然函換為求：數(shù)通常的最大 ，記為，值? ? ? ?? ? ? ?121 2 1 2, , , , , , , , , ,knnX f xx x x X X X? ? ? ? ? ??? ? ?? 設(shè)總體 的概率密度為 為未知參數(shù)，為參數(shù)空間，即 的取值范圍。 , , , , , , , , , 1 , 2 , , , , , , ,1 1 , 2 , , , , ,1 1 2 1, , ,2 1 2kkkvv k nnvviiX F xX k E XE X v k X X X Xv A X v kkAknA???? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ???? 設(shè)總體 的分布函數(shù)為 是待估計(jì)的未知參數(shù)，假定總體 的 階原點(diǎn)矩 存在，則有： 對(duì)于樣用樣本矩作為總體矩的估計(jì)，即本其 階樣本：矩是：令? ?? ? ? ?12122 ,?, , , , , ,12kkAk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ??解此方程即得 的一個(gè)矩估計(jì)量? ?一 矩估計(jì)法：38 ? ?121 0 , , , , ,nXX X X X? ? ? ? ????2 2 22例：設(shè)總體 的均值 和方差 都存在，且 ， 均未知，是取自 的一個(gè)樣本，試求 的矩估計(jì)。 , ,F n nf x n n dx F n nF n n F n n F???? ? ???? ? ?? 對(duì)于給定的 稱(chēng)滿(mǎn)足條件 的點(diǎn)為 分布的上 分位數(shù)。 常用統(tǒng)計(jì)量： 設(shè)（ Z1,Z2,?,Z n）為取自總體 Z的樣本 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?221 2 31 2 3 2 1 2 3323121, , , , 1 2 2 3 m a x , , 1 4 5 ZiiN Z Z ZZ Z Z Z Z Z ZZZ? ? ? ??? ?? ? ???思考題：設(shè)在總體 中抽取樣本 其中 已知， 未知 指出在中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量， 為什么？111 . n iiZZn?? ?樣本均值? ?? ?1113 . 1 , 2 ,1 ( ) 1 , 2 ,nkkiinkkiik A Z knk B Z Z kn????? ? ???樣本矩 階矩：階中心矩：22112 . ( ) ,1 n iiS Z Z Sn???? ?樣本方差 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差22 隨機(jī)變量獨(dú)立性的兩個(gè)定理 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 1 112111121 1 2 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , 1 , 2 , 6. 1 iikinni n nn n n k k nknnZ Z Z ny g x x x x R i k knnY g Z Z Y g Z Z Y gn n kZZ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?設(shè) 是相互獨(dú)立的 個(gè)隨機(jī)變量， 又設(shè) 是 個(gè)連續(xù)函數(shù)， 且有 則 個(gè)隨機(jī)變量： 是相互定 理： 獨(dú)立的。 20 167。 ? ?5. 4 定理 獨(dú)立同分布的中心極限定理? ? ? ?? ?? ?221211 2, , , , , , 1 , 2 ,1,20 , 1n i iniinni txinnnnZ Z Z E Z D Z iZnnYnZnx R l i m P Y x l i m P x e d tnn Y N??????????? ?? ? ?? ??? ? ????????? ? ? ? ? ??????????設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立同分布，則前 個(gè)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為：有： 證明略。2022/6/1 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象 數(shù)量規(guī)律的一門(mén)學(xué)科。此定理表明，當(dāng) 充分大時(shí)， 近似服從14 ? ?5 .5 定理 德莫佛 拉普拉斯定理2215 . 4 ,2tbAn an n pn li m P a b e d tnpq ??? ? ??? ?? ? ? ? ? ????? ?由定理 當(dāng) 時(shí)，1 0 iiAZiA?? ??第次試驗(yàn)時(shí) 發(fā)生證明：令第次試驗(yàn)時(shí) 未發(fā)生? ? ? ?? ?220 1 ,1, l im , 12AtbAn an n A P A p pn n pa b P a b e d t q pnpq ??? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ??????設(shè) 為 次貝努里試驗(yàn)中 發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)任何區(qū)間 ，有： 其中12, , , ,nZ Z Z則 相互獨(dú)立同分布? ? ? ? 12, , 1 , 2 , , ,i i A nE Z p D Z pq i n Z Z Z? ? ? ? ? ? ?且因15 例 2：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為 100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn) 隨機(jī)取得 16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這 16只元件 的壽命的總和大于 1920小時(shí)的概率。 1 總體和樣本 總體： 研究對(duì)象的全體。? ? ? ?111 1 1 11 1 1 11, , , ,1 , 2 , , , , , , ,6,2,. titntn t nnti n itit Z Z Z Zi t n Z ZZ Z Z Z?設(shè) 個(gè)隨機(jī)變量 是相互獨(dú)立的， 又設(shè)對(duì)每一個(gè) 個(gè)隨機(jī)變量 是相互獨(dú)立的， 定理 ：隨機(jī)變量 是相互 則 獨(dú)立的。 的值可查 分布表0 x1 2??fx21, 20nn?? ?2 25n?2 10n?F分布的密度函數(shù)0 x? ?12,F n n?()fx?F分布的分位數(shù)29 z??? ? ? ?, 0 , 1 , , 0 1X N Z P X ZZ??????? ? ? ? ?此外 設(shè) 若 滿(mǎn)足條件 則稱(chēng)點(diǎn) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位數(shù)。 11221? 1? ()niiXAA XXn??? ??? ???????? ??? ?? ?2令解：先求總體矩：? ? ? ? ? ? ? ?2 2 212 , E X E X D X E X? ? ? ?? ? ? ? ? ? 22121111 , nniiiiA X X A Xnn??? ? ???再求樣本矩：39 ? ?? ?1122 0 1 0 0 , ,nXxxfxX X X X??????????????例 ：設(shè)總體 的密度為：為未知參數(shù)，其他， 為取自 的樣本，求 的矩估計(jì)。設(shè) 是樣本極大的一似然估計(jì)法：個(gè)觀察值：? ? ? ?? ?121121. 2. , , , , , , , , nniinL x x x f xL x x x???? ??? ?作似然函數(shù)求使 達(dá) 稱(chēng)為 的極大到最大的 值， 似然估計(jì)量43 32 ?例 ：求矩估計(jì)部分的例 中 的極大似然估計(jì)量。 12, , , nX X X X證：因 與 同分布，故有：X ?故 是 的無(wú)偏估計(jì)? ?11 n iiE X E Xn???? ?????2211 ()1 n iiS X Xn???? ?? ?2211 ()1 n iiE S E X Xn???????????? ? 2211 ()1 n iiE X n Xn ?????? ? ? ???? ???? ?2 2 21 1 nn ? ? ?? ? ??22S ?故 是 的無(wú)偏估計(jì)? ?11 n iiEXn?? ? 1 nn ??? ? ?? ? 211 ()1 n iiE X Xn ???????? ? ? ?????? ???? ? ? ?11 1 n iiD X n D Xn???????? ???50 ? ??7 5 2 L nXX????例 ：檢驗(yàn)例 的矩估計(jì)量 與極大似然估計(jì)量 的無(wú)偏性。? ? 21 ,3D n?? ? ? ? ? ?22 2D nn?? ? ?? ? ? ?22 2DP ?? ? ? ?? ? ?同理： ? ?222 0nn??? ? ?56 167。側(cè)置信區(qū)間 。 U檢驗(yàn)法可以進(jìn)行哪些假設(shè)檢驗(yàn)？ t檢驗(yàn)法可以進(jìn)行哪些假設(shè)檢驗(yàn)？ χ 2檢驗(yàn)法可以進(jìn)行哪些假設(shè)檢驗(yàn)？ F檢驗(yàn)法可以進(jìn)行哪些假設(shè)檢驗(yàn)？ 相似之處？ t檢驗(yàn)適用于哪些特殊場(chǎng)合？ χ 2檢驗(yàn)的基本步驟是什么？ 75 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)過(guò)程 狀態(tài)和狀態(tài)空間 樣本函數(shù) 有限維分布函數(shù) 均值函數(shù) 方差函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù) 互相關(guān)函數(shù) 互協(xié)方差函數(shù)