【正文】 。 給定一隨機(jī)試驗(yàn) E，其樣本空間 S={e}，將樣本空間中的每一元作如下對(duì)應(yīng)，便得到一系列結(jié)果： ( ( ) , ( ) ) ,e X e Y e?12( ( ) , ( ) , ( ) ) ,ne X e X e X e?12( ( ) , ( ) , ) ,e X e X e?( ),e X e?( ( , ) ( , ) ) ,e X e t t? ? ?? ??X 一維即 —— 隨機(jī)變量( , )XY即 —— 二維隨機(jī)變量12( , , )XX即 —— 隨機(jī)序列12( , , , )nX X X n 維即 —— 隨機(jī)變量( ( , ( , ) )X t t ? ? ? ? ?即 —— 隨機(jī)過程77 一維、二維或一般的多維隨機(jī)變量的研究是概率論的研究?jī)?nèi)容，而隨機(jī)序列、隨機(jī)過程則是隨機(jī)過程學(xué)科的研究?jī)?nèi)容。 U檢驗(yàn)法可以進(jìn)行哪些假設(shè)檢驗(yàn)？ t檢驗(yàn)法可以進(jìn)行哪些假設(shè)檢驗(yàn)？ χ 2檢驗(yàn)法可以進(jìn)行哪些假設(shè)檢驗(yàn)？ F檢驗(yàn)法可以進(jìn)行哪些假設(shè)檢驗(yàn)？ 相似之處？ t檢驗(yàn)適用于哪些特殊場(chǎng)合？ χ 2檢驗(yàn)的基本步驟是什么？ 75 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)過程 狀態(tài)和狀態(tài)空間 樣本函數(shù) 有限維分布函數(shù) 均值函數(shù) 方差函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù) 互相關(guān)函數(shù) 互協(xié)方差函數(shù) 正態(tài)過程 獨(dú)立增量過程 泊松過程 維納過程 第十章 隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述 76 167。 95%解：置信度為 時(shí)? ? ? ?222221 0 . 0 2 5 0 . 0 2 511 1 0 . 0 5n S n SP ??????????? ? ? ?????? ? ? ?220 . 9 7 5 0 . 0 2 52 4 3 9 .4 , 2 4 1 2 .4 。見下圖1 0 ,0 .0 5 , 9 5 %0 .0 1 , 9 9 %????在例 中 當(dāng) 即置信水平為 時(shí), 2 0 個(gè)區(qū)間中只有大約1 個(gè)不包含 值； 當(dāng) 即置信水平為 時(shí), 1 0 0 個(gè)區(qū)間中將有9 9 個(gè)包含 值；ba65 ? ? 2211 ,25 , .95 99S??例 ：一個(gè)園藝科學(xué)家正在培養(yǎng)一個(gè)新品種的蘋果 這種蘋果除了口感好和 顏色鮮艷以外 另一個(gè)重要特征是單個(gè)重量差異不大。 2 , 16 。側(cè)置信區(qū)間 。信區(qū)間 。 0 1 , , 1 1 , , , , , , , , 1 7 1nnnnX F xX X X XP X X X X? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ???定義：設(shè)總體 的分布函數(shù) 含有一個(gè)未知參數(shù) ，對(duì)給定的值如果有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ， 使得： 隨機(jī)區(qū)間 是 的雙側(cè) 置信區(qū)間 則 ；稱 稱 為置信度；和 2 分別稱為雙側(cè)置信下限和雙側(cè)置信上限。假設(shè) 是總體 的一個(gè)樣本， 區(qū)間估計(jì)的方法是給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 使區(qū)間 以一定的可靠程度引：蓋住言。? ? 21 ,3D n?? ? ? ? ? ?22 2D nn?? ? ?? ? ? ?22 2DP ?? ? ? ?? ? ?同理： ? ?222 0nn??? ? ?56 167。53 ? ?? ? ? ?11 2 1 28 0 , , , ,12 , 7 2nX U X X XnX X n nn??? ? ? ??? ? ?????例 ：設(shè)總體 是取自 的樣本，已知 的兩個(gè)無偏估計(jì) 為 見例 ，判別 與 哪個(gè)有效 時(shí) ？ ? ? ? ? 221 42 1 2 3D D X nn??? ? ? ? ?解：? ? ? ?1 0 0 nnnXnx xfx ???????????由 其它? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?2 222 21 nnnD E X E Xn? ? ???? ??于是? ? ? ? ? ?221 2 2 1 3 2DD n nn??? ? ? ?? ? ? ??因?yàn)?比 更有效? ?? ?1220 2nn nn x nE X d x n? ???? ? ???? ?2 2nn?? ?54 相合性 ? ?? ?1,0 , 0nnnnnXXnl i m P???? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ?設(shè) 為參數(shù) 的估計(jì)量， 若對(duì)于任意 ，當(dāng) 時(shí)，依概率收斂于 ， 定義：則稱 為 即的相有： 成立， 合估計(jì)量或一 致估計(jì)量55 ? ? ? ?12 ,EE? ? ???證： ? ?? ?1129 0 , , , ,1 2nnX U X X XnXXn?? ? ?????例 ：設(shè)總體 是取自 的樣本， 證明： 和 是 的相合估計(jì)。 無偏性的統(tǒng)計(jì)意義是指在大量重復(fù)試驗(yàn)下，由 所作的估計(jì)值的平均恰是 ，從而無偏性保證了 沒有系統(tǒng)誤差。51 糾偏方法 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1?, , , 01 ?17,?,?nnnnE a b a b abanX X XnXX? ? ?????????? ? ? ? ????如果 其中 是常數(shù)，且則 是 的無偏估計(jì)。 12, , , nX X X X證：因 與 同分布，故有：X ?故 是 的無偏估計(jì)? ?11 n iiE X E Xn???? ?????2211 ()1 n iiS X Xn???? ?? ?2211 ()1 n iiE S E X Xn???????????? ? 2211 ()1 n iiE X n Xn ?????? ? ? ???? ???? ?2 2 21 1 nn ? ? ?? ? ??22S ?故 是 的無偏估計(jì)? ?11 n iiEXn?? ? 1 nn ??? ? ?? ? 211 ()1 n iiE X Xn ???????? ? ? ?????? ???? ? ? ?11 1 n iiD X n D Xn???????? ???50 ? ??7 5 2 L nXX????例 ：檢驗(yàn)例 的矩估計(jì)量 與極大似然估計(jì)量 的無偏性。 2 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 從表 1看到，對(duì)總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計(jì)量，如何評(píng)價(jià)好壞？ 通常用三條標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)： 無偏性 ， 有效性 ， 相合性 無偏性 ? ? ? ?? ??? ,?,nEliEmE????? ? ????????若 那么若則稱為估計(jì)量 的偏差漸近稱 是 的 無偏估計(jì)量? ? ? ?12? ?, ,?, , ,n EX X X???? ???? ?滿足 則稱定義是 的一若參數(shù) 的估計(jì)個(gè)無偏量：估計(jì)量。 ? ?1 極解： 大似然估計(jì) ? ?1 0。 ? ? 1 矩估計(jì)解：? ? ? ?E X x f x d x????? ?? ? ? ?22 1 xE X x e d x??? ??? ??? ?? ?? ? 21 1()niiE X XD X X Xn?? ??? ???? ?令? ?DX21211? () 1? ()niiniiXXnX X Xn?????????? ?? ? ? ?????????? ?1 xx e d x??? ??? ??? ?? ?2 2 xx e d x????? ??? ???? ? 2222? ?? ?? ? ?? ? ? ?2 2 2E X E X ?? ? ?45 ? ? 2 極大似然估計(jì)? ? ? ?11, in xiLe ???? ? ???? ??此處不能通過求偏導(dǎo)數(shù)獲得 的極大似然估計(jì)量，? ? 111,nii nxnL e L???? ? ? ?? ??? ??另一方面， 是 的增函數(shù)， 取到最大值時(shí)， 達(dá)到最大。設(shè) 是樣本極大的一似然估計(jì)法：個(gè)觀察值：? ? ? ?? ?121121. 2. , , , , , , , , nniinL x x x f xL x x x???? ??? ?作似然函數(shù)求使 達(dá) 稱為 的極大到最大的 值， 似然估計(jì)量43 32 ?例 ：求矩估計(jì)部分的例 中 的極大似然估計(jì)量。 , 39。 。如果用返回抽樣方法從罐中任取 n個(gè)球，則其中黑球的個(gè)數(shù)為 x的概率為： 若取 n=3，如何通過 x來估計(jì) p值 先計(jì)算抽樣的可能結(jié)果 x在這兩種 p值之下的概率： ? ? 31。 11221? 1? ()niiXAA XXn??? ??? ???????? ??? ?? ?2令解：先求總體矩：? ? ? ? ? ? ? ?2 2 212 , E X E X D X E X? ? ? ?? ? ? ? ? ? 22121111 , nniiiiA X X A Xnn??? ? ???再求樣本矩：39 ? ?? ?1122 0 1 0 0 , ,nXxxfxX X X X??????????????例 ：設(shè)總體 的密度為：為未知參數(shù)，其他， 為取自 的樣本，求 的矩估計(jì)。的估計(jì)量 點(diǎn)估計(jì)有兩種方法：矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法37 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?1 2 1 21 2 1 21。參數(shù)估計(jì)的兩種方法：點(diǎn)估計(jì)法和區(qū)間估計(jì)法36 167。 , 2,xXXf x e x??????? ? ? ????? ? ? ? ? ??參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題之一，實(shí)際工作中碰到的總體它的分布類型往往是知道的，只是不知道其中的某些參數(shù)，例如：產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo) 服從正態(tài)分布，其概率密度為：但參數(shù) 的值未知，要求估計(jì) ，有時(shí)還希望以一定的可靠性來估計(jì) 值是在某個(gè)范圍內(nèi)或者不低于某個(gè)數(shù)。 的值可查 分布表0 x1 2??fx21, 20nn?? ?2 25n?2 10n?F分布的密度函數(shù)0 x? ?12,F n n?()fx?F分布的分位數(shù)29 z??? ? ? ?, 0 , 1 , , 0 1X N Z P X ZZ??????? ? ? ? ?此外 設(shè) 若 滿足條件 則稱點(diǎn) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位數(shù)。 , 0 6., 05 1n n n nnnnbF n nn n x n n x xBf x n nxabB a b x x dx??????????? ??????? ? ??分定理 ： 布的概率密度為： 其中? ?ab?? 28 ? ?? ? ? ?? ? ? ?121 2 1 2,1 2 1 2, 0 1 , 。 1 , 2 , ,ii ZY i n?????解：作變換 ? ?12, , , 0 , 1 1 , 2 , ,niY Y Y Y N i n??顯然 相互獨(dú)立，且? ?2 2 2 2211()nni iiiZX Yn? ??? ???