【正文】 ? ? ???于是 ? ? ? ?2 221221 02 0 0nnxn ne x xfxx??? ????? ??? ??26 ? ? ? ?? ?20 , 1 , , ,Z N Y n Z YZT n t T t nYn???設(shè) 并且 相互獨(dú)立， 服從自由度為 的 分布，記 則稱隨 變量 為機(jī)定義：? ?? ? ? ?? ?, 0 1 , ,tnf t n dt t nt n t t??? ? ????? ? ??對給定的 稱滿足條件 的點(diǎn)為 分布的上 。 2 常用的分布 ? ? ? ? ?? ?? ?? ?12 2 22221, , 0 , 1 1 , 2 , , 11nniniiZ Z Z ZnZN i nn ??????????設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立， 則稱 服從自由度為 的 ， 定 指 式右端包含分布 記為自 的獨(dú)立變度義：由 量的個數(shù)? ? ? ? ? ?? ?2212101 02 22 0 6 0.3nynxyeyn f y nyx e dx?????????? ???? ??? ?? ??????? ?分布的概率密度為： 其理中定：2? 分布x()fx010n?1n?4n?2? 分布的概率密度函數(shù)24 2? 分布的一些重要性質(zhì)：? ? ? ? ? ?2 2 2 21 . , , 2n E n D n? ? ? ?? ? ?設(shè) 則有? ? ? ? ? ?2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22. , , ,Y n Y n Y Y Y Y n n? ? ?? ? ? ? ?設(shè) 且 相互獨(dú)立，則有22 ? 分布的可加性性質(zhì) 稱為 ，可推廣到有限個的情形：? ?221211, , , , mmi i m i iiiY n Y Y Y Y n????????????設(shè) 且 相互獨(dú)立，則? ?? ? ? ?? ? ? ?222 22, 0 1 ,nn f dynynn???????? ? ?? ? ??? ? ?? 為分布的上 分對給定的概率 稱滿足條件 的點(diǎn)上 分位數(shù) 的值可查位數(shù) 分布表? ?2 n??02? 分布的分位數(shù)x()fx?25 221()n iiZ??????由此得統(tǒng)計(jì)量 的密度函數(shù)為： ? ? ? ?2122211 , , , , ,( ) nniiZ N Z Z Z ZZ? ? ????????例：設(shè)總體 已知。? ? ? ?111 1 1 11 1 1 11, , , ,1 , 2 , , , , , , ,6,2,. titntn t nnti n itit Z Z Z Zi t n Z ZZ Z Z Z?設(shè) 個隨機(jī)變量 是相互獨(dú)立的， 又設(shè)對每一個 個隨機(jī)變量 是相互獨(dú)立的， 定理 ：隨機(jī)變量 是相互 則 獨(dú)立的。 1. 每個 Zi與 Z同分布 2. Z1,Z2,?,Z n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 [說明 ]： 后面提到的樣本均指簡單隨機(jī)樣本，由概率論知，若總體 Z 具有概率密度 f(x)， 則樣本（ Z1,Z2,?,Z n）具有聯(lián)合密度函數(shù)： ? ? ? ?121, nn n iif x x x f x?? ?21 統(tǒng)計(jì)量： 樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。 抽樣： 從總體 Z中抽取有限個個體對總體進(jìn)行觀察的取值過程。 個體： 組成總體的每個元素。 1 總體和樣本 總體： 研究對象的全體。 例如： 若規(guī)定燈泡壽命低于 1000小時者 為次 品，如何確定次品率？由于燈泡壽命試驗(yàn)是 破壞性試驗(yàn)，不可能把整批燈泡逐一檢測，只 能抽取一部分燈泡作為樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，以樣本 的信 息來推斷總體的信息，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研 究的問題之一。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 0 0 0 .0 2 0 .9 8 2 .8022 1 0 2 18 8 6 6 8 1 1 85 92 .8 2 .8 2 .8 2 .8 2 .8npqn p Z n p n pP Z P Z Pn p q n p q n p qZP ??? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, 40 0 , 0. 02 Z Z b?解：設(shè)機(jī)器出故障的臺數(shù)為 則 ，分別用三種方法計(jì)算：1. 用二項(xiàng)分布計(jì)算? ? ? ? ? ? 4 0 0 3 9 92 1 0 1 1 0 .9 8 4 0 0 0 .0 2 0 .9 8 0 .9 9 7 2P Z P Z P Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2. 用泊松分布近似計(jì)算? ? ? ? ? ?4 0 0 0 . 0 2 8 2 1 0 1 1 0 . 0 0 0 3 3 5 0 . 0 0 2 6 8 4 0 . 9 9 6 9npP Z P Z P Z? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?查表得3. 用正態(tài)分布近似計(jì)算18 第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 關(guān)鍵詞： 樣 本 總 體 個 體 統(tǒng) 計(jì) 量 2? ? 分布t ?分布F ?分布19 引言： 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué) 是一門關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理、分析 和推斷的科學(xué)。設(shè)老年人死亡 率為 ，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)虧本的概率。此定理表明，當(dāng) 充分大時， 近似服從14 ? ?5 .5 定理 德莫佛 拉普拉斯定理2215 . 4 ,2tbAn an n pn li m P a b e d tnpq ??? ? ??? ?? ? ? ? ? ????? ?由定理 當(dāng) 時，1 0 iiAZiA?? ??第次試驗(yàn)時 發(fā)生證明：令第次試驗(yàn)時 未發(fā)生? ? ? ?? ?220 1 ,1, l im , 12AtbAn an n A P A p pn n pa b P a b e d t q pnpq ??? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ??????設(shè) 為 次貝努里試驗(yàn)中 發(fā)生的次數(shù)，則對任何區(qū)間 ，有： 其中12, , , ,nZ Z Z則 相互獨(dú)立同分布? ? ? ? 12, , 1 , 2 , , ,i i A nE Z p D Z pq i n Z Z Z? ? ? ? ? ? ?且因15 例 2：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為 100小時的指數(shù)分布，現(xiàn) 隨機(jī)取得 16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這 16只元件 的壽命的總和大于 1920小時的概率。 2 中心極限定理 背景：有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的 綜合影響所形成的，而其中每個個別的因素作用都很小，這種 隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極限分布 是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù)學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它 在長達(dá)兩個世紀(jì)的時期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。定義 ：設(shè)隨機(jī)變量序列 若存在某常數(shù) ， 使得 均有： 則稱隨機(jī)變量序列 依概率收斂于常數(shù) ， 記為：? ?? ?12211 , , , ,110 l i m l i m 1nnnkknnknnkZ Z Zn Y ZnP Y P Zn??? ? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ???????定理 契比雪夫不等式的特殊情形 ：設(shè)隨機(jī)變量序列 相互獨(dú)立， 且具有相同的數(shù)學(xué)期望 和相同的方差 ， 作前 個隨機(jī)變量的算術(shù)平均： 則 ，有：? ?111 ,nnkkE Y E Z nnn ?????? ? ? ??????證明：由于 ? 11nkD Y D Zn???? ????? ? ?2 11nkk DZn ?? ?2221 n nn ??? ? ?2211 1nkknPZn ??????? ? ? ? ??????由契比雪夫不等式得： 11 1n kn kli m P Zn ???? ???? ? ? ??????12 大數(shù)定律的重要意義： 貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正因?yàn)檫@種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法，既然頻率 nA/n與概率 p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計(jì)，這種方法即是在第 7章將要介紹的參數(shù)估計(jì)法，參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。 1 大數(shù)定律 背景 本章的大數(shù)定律，對第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證 為了證明大數(shù)定理，先介紹一個重要不等式 9 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?222225. 1 ,0, 1Z E Z D ZP Z E ZP Z E Z???????????? ? ? ?? ? ? ?定理 契比雪夫不等式 ：設(shè)隨機(jī)變量 具有數(shù)學(xué)期望 方差 則對于任意 都有：定理的 為：等價(jià)形式? ? ? ? ,Z Z f x證明：僅就 為連續(xù)型時證之 設(shè) 的概率密度為? ? ? ?xP Z f x d x??????? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x d x???????? ?? ? ? ?221 x f x d x?? ???????? ? 222DZ ?????()fx??? ????10 例 1：在 n重貝努里試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)事件 A出 現(xiàn) 的概率為 ，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁焦烙?jì) n,使 A出現(xiàn)的頻率在 。2022/6/1 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象 數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。 3 ?第一章 概率論的基本概念 ? 隨機(jī)試驗(yàn) ? 樣本空間 ? 概率和頻率 ? 等可能概型（古典概型） ? 條件概率 ? 獨(dú)立性 ?第二章 隨機(jī)變量及其分布 ? 隨機(jī)變量 ? 離散型隨機(jī)變量及其分布 ? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 ? 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 ?第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 ? 二維隨機(jī)變量 ? 邊緣分布 ? 條件分布 ? 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ? 兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 4 ? 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 數(shù)學(xué)期望 ? 方差 ? 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) ? 矩、協(xié)方差矩陣 ? 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 ? 大數(shù)定律 ? 中心極限定理 ? 第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 ? 總體和樣本 ? 常用的分布 5 ? 第七章 參數(shù)估計(jì) ? 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ? 估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn) ? 區(qū)間估計(jì) ? 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) ? 假設(shè)檢驗(yàn) ? 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) ? 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) ? 置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系 ? 樣本容量的選取 ? 分布擬合檢驗(yàn) ? 秩和檢驗(yàn) ? 第九章 方差分析及回歸分析 ? 單因素試驗(yàn)的方差分析 ? 雙因素試驗(yàn)的方差分析 ? 一元線性回歸