【正文】 ,21???????? ??jijiAAAA jinn ???? ??????????1111)()()()(niiniiiiiniAPAPAPAP ?????????????niininii APPAP111)()()( ?).()(),()()(, B,A, 3APBPAPBPABPBA?????且則有若對任意事件性質，BA:證 ??，由概率的可加性且 ??? )( ABA ?，故有 )( ABAB ?? ? P(B)=P(A)+P(BA), ,0)( ?? ABP再由概率的非負性知P ( A) .P ( B ) ?于是有.1)( , 4 ?APA對任一事件性質.1)()( 3,?????PAPA 得由性質證：因為).(1)( , 5 APAPA ??對任一事件性質范性及可加性得，由概率的規(guī)且因為證 ????? AAAA , : )(1)()()()()(1APAPAPAPAAPP????????即).()()()(, 6ABPBPAPBAPBA????有對任意兩事件性質, ）（ ABABA ?? ???，）（且 ??? ABA ?( 1) )()()( ABPAPBAP ???? ?.)2(),1( 可得證結合????? )(),( ABABABABB ??( 2) )()()( ABPABPBP ????證： 可以作如下推廣：)( CBAP ??).()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAP???????)( 21 nAAAP ????).()1( )( )()(211111nnnkjikjinjijiniiAAAPAAAPAAPAP????????????????????這個式子稱為 “加奇減偶公式” . 1. 2. 例 1 設 A,B為兩個事件 ,且 P(A)=,P(B)=, P(AB)=,求下列各事件的概率 . .)4(。 實驗者 擲幣次數(shù) n 正面次數(shù) n ( A ) 頻率 F n ( A ) 蒲豐 4 0 4 0 2 0 4 8 0 . 5 0 6 9 皮爾遜 1 2 0 0 0 6 0 1 9 0 . 5 0 1 6 皮爾遜 2 4 0 0 0 1 2 0 1 2 0 . 5 0 0 5 拋幣試驗 (二 ) 概 率 頻率的穩(wěn)定值 P(A)反映了事件 A在一次試 驗中發(fā)生的可能性大小，稱 P(A)為事件 A 的概率。 (2)穩(wěn)定性 : 隨著 n逐漸增大 ,事件 A的頻率總 在某一定值 P(A)的附近擺動而逐漸穩(wěn)定。 2. 頻率與概率 (一 ) 頻率 1. 定義：將一試驗 E在相同的條件下重復 進行 n次 ,如果事件 A發(fā)生了 nA次 ,則比值 nA/n稱為 事件 A發(fā)生的頻率 ,記為 Fn(A). 頻率的基本性質： .2 0 : )1( ；）（非負性 ?AF n? ? 。CA()BA()CB(A????????????交換律 : 結合律 : 分配律： )BC(AC)AB(),CB(AC)BA(?? ????}{ 至少發(fā)生一個、 BABA ??解釋 : 德摩根公式推廣： iniiniiniiniAAAA1111 ,?????? ????.。 復合事件 :由兩或兩個以上的基本事件復合而 成的事件為復合事件 . 如 :E3中 {出現(xiàn)正面次數(shù)為偶數(shù) }. 不可能事件 ： 空集 φ 不包含任何樣本點， 它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可 能事件。 E5中 {1000t3000}(小時 ). 隨機事件 “在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生事情” 叫做隨機事件 ,簡稱事件 . 事件是由樣本空間中某些樣本點組成的集 合 ,事件發(fā)生當且僅當它所包含的某一個樣 本點出現(xiàn)。例 E1,E2等 . :樣本點在某區(qū)域內取 值 .例電子元件的壽命 {t|t≥0}. 如 E1中 ,“出現(xiàn)正面 ” 。 隨機試驗與樣本空間 樣本空間 隨機試驗中，每一個可能結果稱為該試驗 的一個樣本點（或基本事件） ,記為 ?. 全體樣本點組成的集合稱為該試驗的樣本 空間，記為 ?。 (2) 重復試驗的可能結果不止一個 ,且能事先 明確所有可能的結果 。 167。概率論講義 1. 確定性現(xiàn)象 . 2. 隨機現(xiàn)象 : 在一定條件下可能發(fā)生這種結 果也可能發(fā)生那種結果的，因而無法事先斷 言出現(xiàn)那種結果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。 第一章 隨機事件及其概率 3. 隨機現(xiàn)象具有統(tǒng)計規(guī)律性。 隨機試驗 : (1) 可在相同的條件下重復進行 。 (3) 一次試驗只出現(xiàn)一個結果，且試驗前不 能確定會出現(xiàn)哪個結果。 E1: 拋一枚硬幣，觀察正 (H)反 (T) 面 的情 況 . ? 1={H,T} ?1=H ,?2=T E4:電話交換臺一分鐘內接到的呼喚次數(shù) . ? ?4={0， 1， 2， ?} ?1=0, ?2=1, ?3=2 ? E3:擲一顆骰子 ,觀察點數(shù) .則 ?3={1,2,3,4,5,6} ?1=1 ?2=2 ? ?6=6 E2:將一枚硬幣拋三次 ,觀察正反面出現(xiàn)的情況 . ?2={HHH, THH， HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT } E5:從一批電子元件中任取一只測試其壽命 . ? ?5={t| t≥0} :樣本點為有限多個或 可列多個 。 E3中， “ 出現(xiàn)偶數(shù) 點 ” 。 基本事件 :由一個樣本點組成的單點集 . 如 :{H},{T}. 必然事件 : 樣本空間 ?是自身的子集，在每次 試驗中總是發(fā)生的 ,稱為必然事件。事件間的關系與事件的運算 和 相等關系 : BA ? 若事件 A發(fā)生必然導致事件 B發(fā)生 , 則稱件 B包含事件 A,記作 A?B. 若 A ? B且 A ?B, 即 A=B, 則稱 A與 B相等 . . ,A ,A}|{ ,BA BA121 ?????????kkABxAxxBA的并事件記為可列個事件或記的并與稱為事件至少有一個發(fā)生”與“事件BA ? : ： “事件 A與 B同時發(fā)生”這一事件稱為 A與 B的交，記作 A? B （ AB） A? B={x|x ? A 且 x ?B} 類似地，事件 為可列個事件 A1， A2， … 的 交 . ???1kKABA ? : 事件 AB={x|x?A且 x?B} 稱為 A與 B的差 . 即“ A發(fā)生而 B不發(fā)生” ， 或 ABAA B ??顯然 : AA=?, A ?=A, A ? = ? BA ?.,不能同時發(fā)生與即是互不相容的與則稱若BABABA ?????BA ? 5. 互不相容 事件 (互斥事件 ): 注：基本事件兩兩互不相容 .BAAB,且 ????或者記作事件互為逆與，則稱若 BAφBAΩBA ??6. 互逆事件： AB ? .ABBAABBA ???? ?? ； : ).CA()BA()CB(A)。 BABABABA ???? ??德摩根公式 : .}{ BABA ??? 都不發(fā)生、例 1 高射炮對模型飛機射擊三次，設 Ai表 示“第 i次擊中飛機”，用 Ai表示下列事件 (1) B1“只有第一次擊中飛機” （ 2） B2“ 恰有一次擊中飛機” （ 3） B3“ 至少有一次擊中飛機” （ 4） B4 “至多兩 次擊中飛機 ” 解 (1) 3213213212 AAAAAAAAAB )2( ???32132133213AAAAAAB ,AAAB )3(????? 所以3211 AAAB ?32132143214AAAAAAB AAAB )4(?????所以由于167。1 : )2( ??nF規(guī)范性)()()( , )3(BFAFBAFBAnnn ???，有可加性：對互斥事件則互不相容兩兩，若有限可加性推廣, ： 21 kAAA ?).()()()( 211 knnnikinAFAFAFAF ???????頻率的特性 : 波動性 和 穩(wěn)定性 . (1) 波動性 : 對于同一個試驗 , 不同的試驗序 列其頻率不同 。 P(A)通常稱為頻率的穩(wěn)定值。 1 統(tǒng)計定義 ： 2 公理化定義 ：設 ?為樣本空間， A為事件， 對每一事件 A賦予一實數(shù) P(A)，如果 P(A)滿 足如下三條公理： 0)( )1( ?AP非負性：有對兩兩互斥事件 ),2,1()3( ??iA i)()(:11??????iiii APAP ?可列可加性則稱 P(A)為事件 A的概率。)3(。)1( BABABAAB ?.)(1)( )1( ????? ABPABP解：)()()()( )3( BAPABPBAABPBP ????)(1)()( )2( BAPBAPBAP ?? ???)]()()([1 ????? ABPBPAP.)()()( ??? ABPBPBAP.)()()()( )4( ???? BAPBPAPBAP ??)(?)(,)(,)(,)(.1?????BAPABPBAPBPAP??則已知練習167。即 ? ={?1, ?2,?, ?n} (2) 試驗中每個基本事件 (樣本點 )的發(fā)生 是等可能的 .即 P(?1)=P(?2)= ? P(?n). 這類隨機現(xiàn)象的概率模型叫做 古典概型 . )()()()()(1 21 in nPPPPP ???? ??????? ?),2,1( 1)( nnnP i ????故有則有若 },{ 21 ikiiA ??? ??樣本點總數(shù)包含的樣本點數(shù)于是 AnkA，P ??)(計算公式 : 由概率定義及等可能性 ,可得 nkPPPAPikii ????? )()()()( 21 ??? ?例１ . 設一袋中有編號為 1,2,…,9 的球共 9只 , 現(xiàn)從中任取 3只 ,試求 : (1)取到 1號球的概率 ,（記為事件 A） (2)最小號碼為 5的概率 .（記為事件 B） 解 ：從 9個球中任取 3只球 ,共有 種取法 . 39C28C3928)(CCAP ?（ 2）最小號碼為 5,共有 種取法 . 24C3924)(CCBP ?（ 1）取到 1號球共有 種取法 練習 1：有 N件產(chǎn)品 ,其中 M件次品 ,從中任取 n件 ,求 取到 k件 次品的概率 . kMCM件次品中取 k件 , 取法數(shù)為 從 NM件正 品中取 nk件 ,取法數(shù)為 ,于是 nNC解 : 記 Ak:取到 k件 次品 N件中任取 n件 , 共有 取法 , kn MNC ??nNknMNkMk CCCAP???)(例 2 n把看起來一樣的鑰匙，只有一把能 開門，用這些鑰匙試開門（不重復），求第 k次開門成功的概率。 方法 2: 考慮第 k個位置上鑰匙出現(xiàn)的情況 方法 3: 考慮前 k個位置上鑰匙出現(xiàn)的情況 則總樣本點數(shù)為 n!, A包含 (n1)!個樣點。 ,365P ( A ) 365 nnA?練習： 生日問題 。)(,50 ?? APn至少有兩個人生日相同:A167。 例 1 根據(jù)長