【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 167。 二項(xiàng)分布 ? 但這里還是給出其一般公式 。 下面p(k)代表在 n次 Bernoulli試驗(yàn)中成功的次數(shù)的概率 ， p為每次試驗(yàn)成功的概率 。 有 ( ) ( 1 ) , 0 , 1 , . . . ,k n knp k p p k nk???? ? ?????這里 !! ( ) !n nk k n k?? ??? ???為二項(xiàng)式系數(shù)，或記為 knC0 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率p = 0 . 1 p = 0 . 2 p = 0 . 3p = 0 . 4 p = 0 . 5 p = 0 . 6p = 0 . 7 p = 0 . 8 p = 0 . 90 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率0 1 2 3 4 5值0 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率0 1 2 3 4 5值0 1 2 3 4 5值圖 九個(gè)二項(xiàng)分布 B(5,p) (p＝ )的概率分布圖 167。 Poisson分布 ? 另一個(gè)常用離散分布是 Poisson分布（ 翻譯成 “ 泊松分布 ” 或 “ 普阿松分布 ” ） 。 ? 它可以認(rèn)為是衡量某種事件在一定期間出現(xiàn)的數(shù)目的概率 。 ? 比如說(shuō)在一定時(shí)間內(nèi)顧客的人數(shù) 、打入電話總機(jī)電話的個(gè)數(shù) 、 放射性物質(zhì)放射出來(lái)并到達(dá)某區(qū)域的粒子數(shù)等等 。 167。 Poisson分布 ? 在不同條件下 ， 同樣事件在單位時(shí)間中出現(xiàn)同等數(shù)目的概率不盡相同 。 ? 比如中午和晚上某商店在 10分鐘內(nèi)出現(xiàn) 5個(gè)顧客的概率就不一定相同 。 ? 因此 ， Poisson分布也是一個(gè)分布族 。族中不同成員的區(qū)別在于事件出現(xiàn)數(shù)目的均值 l不一樣 。 167。 Poisson分布 ? 參數(shù)為 l的 Poisson分布變量的概率分布為（ p(k)表示 Poisson變量等于 k的概率） ( ) , 0 , 1 , 2 , .. .!kP k e kkl l???k20211050概率.3.2.10 . 0P o is s o n 分布P ( 1 0 )P ( 6 )P ( 3 )參數(shù)為 10的 Poisson分布（只標(biāo)出了 20之內(nèi)的部分） 這里點(diǎn)間的連線沒(méi)有意義，僅僅為讀者容易識(shí)別而畫(huà)，因?yàn)?Poisson變量?jī)H取非負(fù)整數(shù)值 167。 超幾何分布 ? 假定有一批 500個(gè)產(chǎn)品 ， 而其中有 5個(gè)次品 。 假定該產(chǎn)品的質(zhì)量檢查采取隨機(jī)抽取 20個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢查 。 如果抽到的 20個(gè)產(chǎn)品中含有 2個(gè)或更多不合格產(chǎn)品 ， 則整個(gè) 500個(gè)產(chǎn)品將會(huì)被退回 。 ? 這時(shí) ， 人們想知道 ， 該批產(chǎn)品被退回的概率是多少 ？ 這種概率就滿足超 幾 何 分 布 （ hypergeometric distribution） 。 167。 超幾何分布 ? 這是一種所謂的 “ 不放回抽樣 ” ，也就是說(shuō) ， 一次抽取若干物品 ， 每檢查一個(gè)之后并不放回； ? 超幾何分布族的成員被三個(gè)參數(shù)決定 ， 這里相應(yīng)于產(chǎn)品總個(gè)數(shù) n， 其中不合格產(chǎn)品數(shù)目 m， 不放回抽樣的數(shù)目 t；而樣本中有 x個(gè)不合格產(chǎn)品的概率為 ( ) , 0 , 1 , . . . ,m n mx t xp x x tnt?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?????????離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 (expected value) 1. 離散型隨機(jī)變量 X的所有可能取值 xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率 pi乘積之和 2. 描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度 3. 記為 ? 或 E(X) 4. 計(jì)算公式為 取無(wú)窮個(gè)值）取有限個(gè)值）XpxXEXpxXEiiiniii()(()(1?????????離散型隨機(jī)變量的方差 (variance) 1. 隨機(jī)變量 X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望 ， 記為 ? 2 或 D(X) 2. 描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度 3. 計(jì)算公式為 4. 方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差 ， 記為 ? 或 ? ? 222( ) [ ( ) ] ( )iiiD X E X E X x p??? ? ? ? ? ??)( XD離散型數(shù)學(xué)期望和方差 (例題分析 ) 【 例 】 一家電腦配件供應(yīng)商聲稱 ， 他所提供的配件 100個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及概率如下表 次品數(shù) X = xi 0 1 2 3 概率 P(X=xi)?pi 每 100個(gè)配件中的次品數(shù)及概率分布 求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 ? ?????????? ?iii px?22( ) , ( ) 0 . 7 0 5 1 0 . 8 3 9 7iiiD X x p? ? ?? ? ? ??167。 連續(xù)變量的分布 ? 取連續(xù)值的變量 ， 如高度 、 長(zhǎng)度 、重量 、 時(shí)間 、 距離等等；它們被稱為連續(xù)變量 (continuous variable)。 ? 換言之 ， 一個(gè)隨機(jī)變量如果能夠在一區(qū)間 （ 無(wú)論這個(gè)區(qū)間多么小 ） 內(nèi)取任何值 ， 則該變量稱為在此區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 ， 其分布稱為連續(xù)型概率分布 。 ? 它們的概率分布很難準(zhǔn)確地用離散變量概率的條形圖表示 。 167。 連續(xù)變量的分布 ? 想象連續(xù)變量觀測(cè)值的直方圖；如果其縱坐標(biāo)為相對(duì)頻數(shù) ， 那么所有這些矩形條的高度和為 1；完全可以重新設(shè)置量綱 ， 使得這些矩形條的面積和為 1。 ? 不斷增加觀測(cè)值及直方圖的矩形條的數(shù)目 ， 直方圖就會(huì)越來(lái)越像一條光滑曲線 ，其下面的面積和為 1。 ? 該曲線即所謂 概率密度函數(shù) (probability density function， pdf)， 簡(jiǎn)稱密度函數(shù)或密度 。 下圖為這樣形成的密度曲線 。 ( 1 ) ( 2 )( 3 ) ( 4 )2 0 20.00.10.20.30.4逐漸增加矩形條數(shù)目的直方圖和一個(gè)形狀類似的密度曲線。 167。 連續(xù)變量的分布 ? 連續(xù)變量落入某個(gè)區(qū)間的概率就是概率密度函數(shù)的曲線在這個(gè)區(qū)間上所覆蓋的面積；因此 ， 理論上 ， 這個(gè)概率就是密度函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的積分 。 ? 對(duì)于連續(xù)變量 ， 取某個(gè)特定值的概率都是零 ， 而只有變量取值于某個(gè) （ 或若干個(gè) ） 區(qū)間的概率才可能大于 0。 ? 連續(xù)變量密度函數(shù)曲線 （ 這里用 f表示 ）下面覆蓋的總面積為 1， 即 ( ) 1f x d x?????167。 正態(tài)分布 ? 在北京市場(chǎng)上的精制鹽很多是一公斤袋裝 ， 上面標(biāo)有 “ 凈含量 1kg”的字樣 。 但當(dāng)你用稍微精確一些的天平稱那些袋裝鹽的重量時(shí) ， 會(huì)發(fā)現(xiàn)有些可能會(huì)重些 ，有些可能會(huì)輕些；但都是在 1kg左右 。多數(shù)離 1kg不遠(yuǎn) ， 離 1kg越近就越可能出現(xiàn) ， 離 1kg越遠(yuǎn)就越不可能 。 ? 一般認(rèn)為這種重量分布近似地服從最常用的 正態(tài)分布 (normal distribution， 又叫 高斯分布 ， Gaussi