第2章統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布(編輯修改稿)
2025-01-31 06:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 僅是 Z1的線性函數(shù)，與 無關(guān)，故 與 相互獨(dú)立。 .. 212, , , ~ ( 0 , )i i dnZ Z Z N ?1 11 ()nkkZ Y n Y n Xn ??? ? ? ??2211nnkkkkZY?????22211()nnkkY Y Y Y??? ? ???? ? ? ? ? ? 222 2 2 2 2 22 21211 ( ) ( 1 )nn kiniknS Zn S Y n Y Z Z n??????? ? ? ? ? ? ? ? ??? ～11XZn ???2 , nZZX? ?221nS??34 t－分布 ? 定義 設(shè) X～ N(0,1), ， 且 X 和 Y 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 所服從的分布是自由度為 n的 t 分布，記為 T~t(n). /XTYn?1221()2( ) ( 1 )()2nntftn nn ????????? 定理 1 設(shè) T～ t(n),則 T的概率密度為 2~ ( )Yn?35 ? 此定理的證明也同前面類似。先寫出 X, Y的密度函數(shù)，然后利用隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的知識(shí)寫出根號(hào)下 Y/n 的密度函數(shù)，再利用獨(dú)立性寫出（ X , 根號(hào)下 Y/n )的聯(lián)合密度函數(shù)，最后利用兩個(gè)隨機(jī)變量商的密度函數(shù)給出結(jié)果。 36 定理 2 設(shè) X1,X2,…, Xn 是來自總體 的 一個(gè)樣本，則有 。 定理 3 設(shè) X1,X2,…, Xm 和 Y1,Y2,…, Yn 是分別來自總 體 和 的樣本，且假定兩總體 相互獨(dú)立，則有 () ~ ( 1 )Xn tnS?? ? 122212( ) ( ) ( 2) ( 2)( 1 ) ( 1 )XY m n m nT t m nmnm S n S?? ??? ? ? ? ??? 2( ~ ( , ) )XN ??21( , )N ?? 22( , )N ??37 2/21l im ( ) ,2( 0 , 1 ) .????? ? ??tnt Sti rl ingf t et t N當(dāng) 時(shí)，利用 函數(shù)的 公式，可得故當(dāng) 很大時(shí)， 分布近似于 實(shí)際上有下面的結(jié)果。定理 4 設(shè) Tn~t(n)， n=1,2,...,則 Tn依分布收斂于 N(0,1). 38 定理 5 設(shè) T ~ t(n), n1,則對(duì)正整數(shù) r (rn), ETr存在，且 20,1( ) ( )22 ,1( ) ( )22r rrr n rETnrn??????????????當(dāng) 為奇數(shù)，當(dāng) 為偶數(shù)定理 6 設(shè) T~t(n), 若 n2,則 E(T)=0, D(T)=n/(n2). 注： t 分布只存在階數(shù)小于 n的矩 . 39 F－分布 定義 設(shè)隨機(jī)變量 X和 Y是 自由度分別為 n1和 n2的相互獨(dú)立的 分布隨機(jī)變量， 則稱隨機(jī)變量 所服從的分布為自由度是 (n1,n2)的 F分布，記為F~F(n1,n2). 其中 n1稱為第一自由度， n2稱為第二自由度。 12//XnFYn?2?40 定理 1 設(shè) F~F(n1,n2), 則 F 的概率密度為 ? ? ? ? ? ?1 1 2121 1 12 2 21212 2222()1 , 0() ( ) ( )0 , 0n n nnnn n nn n nnn y y yfyy????? ????? ???? ??41 定理 2 若 X/ ? 2~ , Y/ ? 2~ ，且相互獨(dú) 立，則 定理 3 若 X～ F(n1,n2), 則 1/X~F(n2,n1). 定理 4 若 X～ t(n), 則 X2~F(1,n). 定理 5 設(shè) X1,X2,…, Xm 和 Y1,Y2,…, Yn是分別來自總體 和 的樣本，且假定兩總體相互獨(dú)立，則有 1122/ ~ ( , ) ./XnF F n nYn?2212122221. ~ ( 1 , 1 ) ..SF F n nS??? ? ?2 1()n? 2 2()n?211( , )N ?? 222( , )N ??42 定理 7 設(shè) 隨機(jī)變量 X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立且服從 ，又設(shè) Q1+Q2+…+Qk= 其中 Qj是秩為 nj的 X1,X2,…, Xn 的非負(fù)定二次型。 若n1+n2+…+nk=n，則 Qj相互獨(dú)立 , 且 定理 6 設(shè) Xn～ F(m,n), 則當(dāng) n? 時(shí) , 21 .nmmLX ????? 21niiX?? / ~ ( , ) ./iiij i jjjQnF F n nQn?2( 0 , )N ?43 分位數(shù)（分位點(diǎn)） 定義 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x), 0?1， 若 x?使 P{Xx?}=F(x?)= ?, 則稱 x?為此概率分布的 (上側(cè) )?分位點(diǎn)（或分位數(shù)）。 44 分位數(shù)（分位點(diǎn)） ? 當(dāng) X~N(0,1), 將其上側(cè)分位數(shù)記為 u? ? 當(dāng) X~ ， 將其上側(cè)分位數(shù)記為 ? 當(dāng) X~ t(n), 將其上側(cè)分位數(shù)記為 t?(n). ? 當(dāng) X~ F(m,n)， 將其上側(cè)分位數(shù)記為 F? (m,n). 上面幾類分位數(shù)的性質(zhì) 1. u?= u1? , t? (n) = t1? (n) 2. F?(m,n)=1/ F1? (n,m) 2 ()n? 2 ()n??45 有時(shí)也需要上側(cè)分位數(shù)和雙側(cè)分位數(shù) 定義 2 設(shè) X 為一隨機(jī)變量 , 0?1，若 ?使 P{X ??}=?, 則稱 ?為此概率分布的下側(cè) ?分位 數(shù) 。 易證 ?為原分布的 1?上側(cè)分位數(shù)，即 ?＝ x1 ? 定義 3 設(shè) X 為一隨機(jī)變量 , 0? 1,若 ?1,?2使 P{X??1}=?/2, P{X?2}=?/2, 則稱 ?1,?2為此概率分布的雙側(cè) ?分位數(shù)。 易證 ?1= x1?/2 , ?2= x?/2 46 非正態(tài)總體的抽樣分布 例 1 設(shè)總體 , X1,X2,…, Xn為來自總體X的樣本，求樣本均值的分布。 例 2 設(shè)總體 , X1,X2,…, Xn為來自總體 X 的樣本，求樣本均值的分布。 ~ ( )??~ ( )XE ?47 當(dāng)樣本容量 n趨于無窮時(shí)，若統(tǒng)計(jì)量的分布趨于一定的分布，則稱后者為該統(tǒng)計(jì)量的極限分布。它提供了統(tǒng)計(jì)推斷的一種近似解法。所謂大樣本指樣本容量 n30,最好大于 50或 100. 統(tǒng)計(jì)量的漸近分布 非正態(tài)總體大樣本的抽樣分布 48 定義 1 對(duì)于統(tǒng)計(jì)量 Tn,若存在常數(shù)序列 { },n? 2{ } ( 0)nn?? ?使得 ( 0 , 1 ) ( )LnnnTn N n??? ??? ? ? 則稱 Tn的漸近分布為 22
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