[理學(xué)]數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章抽樣和抽樣分布(編輯修改稿)
2025-01-04 00:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )(11 212212*xnxnxxnsniiniin??=??= ??== 修正子樣均方差)(11)(11 21221*xnxnxxnsniiniin??=??= ??== ④ 子樣 k 階原點(diǎn)矩?==nikikxnA11 子樣 k 階中心矩?=?=nikikxxnB1)(1 Chap1— 167。 子樣均值、子樣方差的依概率收斂性 設(shè)母體 X 有 : ,)(,)(2?? == XDXE則由于子樣(nXXX , 21 ?) 滿足 :nXXX , 21 ?相互獨(dú)立且均與X 同分布 , 故,)(,)(2?? == ii XDXE ①)(, ??? ?? nXP當(dāng)? （ 由契比曉夫大數(shù)定律知 ）； ②)(22??? ?? nSPn當(dāng)? Chap1— 167。 （ 3 ） 順序統(tǒng)計(jì)量 例 .6 設(shè)子樣（54321 , XXXXX） 在三次抽樣中分別 有子 樣值： 子樣 1X 2X 3X 4X 5X 2 .1 子 樣 值 將 三組 數(shù)據(jù) 分別 由小到大重新 排序 ， 將 其視為隨機(jī)變量 ()5()4()3()2()1( , XXXXX) 的三組觀察值， 有 ： Chap1— 167。 子樣 )1(X )2(X )3(X )4(X )5(X 子樣值 則稱(chēng)（)5()4()3()2()1( , XXXXX）為（54321 , XXXXX）的順序統(tǒng)計(jì)量。 Chap1— 167。 定義 ： 子樣 (nXXX , 21 ?) 有子樣值： (nxxx , 21 ?) ，將nxxx , 21 ?由小到大 排序后有： ()()2()1( , nxxx ?) ，將其視為隨機(jī)變量（)()2()1( , nXXX ?）的觀察值，則稱(chēng)（)()2()1( , nXXX ?）為（nXXX , 21 ?）的順序統(tǒng)計(jì)量。 注：)()2()1( , nXXX ?不獨(dú)立 。 Chap1— 167。 （ 4 ） 子樣中位數(shù) 與子樣極差（也是子樣數(shù)字特征） 子樣中位數(shù)及其觀察值 = )1+2()21+(為偶數(shù)為奇數(shù)nXnXMenn ?????=??為偶數(shù)為奇數(shù)nxnxmenn)12()21( 子樣極差iniininXXXXR m i nm ax11)1()(?????=?= 注： 子樣中位數(shù)刻畫(huà)了子樣的位置特征；子樣極差刻畫(huà)了子樣的分散特征，較粗糙 ，但計(jì)算 簡(jiǎn)單 。 Chap1— 167。 Chap1— 167。 首先介紹三種來(lái)自 正態(tài)母體的 重要的抽樣 分布 ： 2χ 分布 、 ?t 分布 、 ?F 分布 . 2. 1 2χ 分布 （ 1 ） 函數(shù)及其性質(zhì)：函數(shù)、 ?? 定義 ： 對(duì) ,0?? 稱(chēng)??? ??=01)( dxex x??? 為 函數(shù) ? ；對(duì) 0,0 ?? ba 稱(chēng) =),( ba???? ?1011 )1( dxxx ba 為函數(shù) ? . Chap1— 167。 性質(zhì) ： ① 。)21(,1)1( ??? == ②,!)1(),()1( nn =?=? ??????對(duì)),1,0(??查表可求)。( ?? ③。21)2()21(lim =???nnnn??④ .)()()(),(bababa?=???? Chap1— 167。 （ 2 ） 2?分布 的 定義 nXXX , 21 ?是來(lái)自 母體)1,0(~ NX的一個(gè) 子樣 ， 稱(chēng) 222212nXXX ???= ?? 服從自由度為 n 的 2?分布，記為：)(~22n?? （ 3 ）概率密度函數(shù))( xfn及其 圖形： ?????????=??時(shí)，時(shí)00,)2(21)(2122xxexnxfxnnn 0 ? Chap1— 167。 ① 期望、方差 ： )(χ~χ22n，則nE =)χ(2 , nD 2=)χ(2 ； 【 證明 】 ：222212+++=χnXXX ??，其中nXXX , 21 ?是來(lái)自 母體)1,0(~ NX的一個(gè) 子樣 ， 故 nnXEXDnXnEXEXEEniinii=)1+0(=)](+)([= )(=)(=)(=)χ(221=21=22∑∑nnXEXEnXnDXDXDDniinii2=)13(=)]()([= )(=)(=)(=)χ(22421=21=22∑∑ Chap1— 167。 ② 可加性 ，即： 若)(χ~χ1221n，)(χ~χ 2222 n， 且21χ與 22χ相互獨(dú)立，則 有)+(χ~χ+χ2122221nn. ③ 極限性質(zhì) ： 設(shè)),(χ~χ22n則對(duì)Rx ∈?有 2χ的標(biāo)準(zhǔn)化變量nn2χ2的 分布函數(shù))( xFn滿足：)(Φ=)(l i m xxFnn →∞. 即 n 充分大時(shí) ，)1,0(2χ~2Nnn近似)2,(χ ~2nnN近似∴ . Chap1— 167。 （ 5 ） 2?分布的上 側(cè) 分位數(shù) ： ① 隨機(jī)變量的 上 側(cè)分位數(shù) 定義 ： 設(shè) X 的分布密度為 f ( x ) , 則 ,），（對(duì) 10?? ? 存在 唯一 實(shí)數(shù)?x, 使 ???==? ???xdxxfxXP )()( 稱(chēng) 實(shí)數(shù) ?x 為 X 的上 ? 分位 數(shù) ． ②)1,0(N的上側(cè)分位數(shù) 定義 ： 設(shè))1,0(~ NU, 則 ,），（對(duì) 10?? ? 存在唯一 實(shí)數(shù)?u, 使 ????==? ???u dxxuUP )()( 稱(chēng)實(shí)數(shù)?u為 U 的上 ? 分位數(shù)． 求法 ： ????? =?=??=? )(1)(1)( uuUPuU
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