常用概率分布(編輯修改稿)
2025-08-31 15:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 隨機抽取大小為 n的樣本，則出現(xiàn) “ 陽性 ” 數(shù)為 X的概率分布即呈現(xiàn)二項分布 ，記作 B(X。n,π)或 B(n,π)。 舉例 設(shè)實驗白鼠共 3只，要求它們同種屬、同性別、體重相近，且他們有相同的死亡概率，即事件 “ 白鼠用藥后死亡 ” 為 A，相應(yīng)死亡概率為 π。記事件 “ 白鼠用藥后不死亡 ” 為 ，相應(yīng)不死亡概率為 1π。設(shè)實驗后 3只白鼠中死亡的白鼠數(shù)為 X，則 X的可能取值為 0， 1， 2和 3，則死亡鼠數(shù)為 X的概率分布即表現(xiàn)為二項 分 布。 獨立事件的乘法定理 互不相容事件的加法定理 構(gòu)成成 敗型實驗序列的 n次實驗中，事件 A出現(xiàn) 的次數(shù) X的概率分布為： ? ? ? ?XnXXnCXP??? ?? 1 其中 X=0， 1， 2… ， n。 n， π是二項分布的兩個參數(shù) 。 對于任何二項分布，總有 例 42 臨床上用針灸治療某型頭疼，有效的概率為 60%，現(xiàn)以該療法治療 3例，其中 2例有效的概率是多大？ 分析：治療結(jié)果為有效和無效兩類，每個患者是否有效不受其他病例的影響，有效概率均為 ，符合二項分布的條件。 2例有效的概率是 一例以上有效的概率為： 或 （三）二項分布的特征 1. 二項分布的圖形特征 n， π是二項分布的兩個參數(shù)，所以二項分布的形狀取決于 n， π。可以看出，當 π =，近似對稱分布。當 π ≠，分布呈偏態(tài)，特別是 n較小時， π偏離 ，分布的對稱性越差，但只要不接近 1和0時，隨著 n 的增大，分布逐漸逼近正態(tài)。因此， π或1 π不太小，而 n足夠大，我們常用正態(tài)近似的原理來處理二項分布的問題。 2. 二項分布的均數(shù)和標準差 對于任何一個二項分布 B(X。n,π)，如果每次試驗出現(xiàn)“陽性”結(jié)果的概率均為 π ，則在 n次獨立重復(fù)實驗中，出現(xiàn)陽性次數(shù) X的總體均數(shù)為 方差為 標準差為 ?? n?? ???? ?? 12 n? ???? ?? 1n例 實驗白鼠 3只，白鼠用藥后死亡的死亡概率 π=，則 3只白鼠中死亡鼠數(shù)X的總體均數(shù) =3 =（只） 方差為 標準差為 如果以率表示，將陽性結(jié)果的頻率記為 ， 則 P的總體均數(shù) 總體方差為 總體標準差為 式中 是頻率 p的標準誤 ， 反映陽性頻率的抽樣誤差的大小。 ?? ?p? ?np??? ?? 12? ?np??? ?? 1 二、二項分布的應(yīng)用 概率估計 例 45 如果某地鉤蟲感染率為 13%，隨機觀察當?shù)?150人，其中有 10人感染鉤蟲的概率有多大 ? 單側(cè)累計概率估計 二項分布出現(xiàn)陽性次數(shù) 至少 為 K次的概率為 陽性次數(shù) 至多 為 K次的概率為 ? ? ? ? ? ? ? ? XnXnkxnkx XnXnXPKXP ???????? ?? ?? 1!! !? ? ? ? ? ? ? ? XnXkxkx XnXnXPKXP ???????? ?? ?? 1!!!00 例 46 如果某地鉤蟲感染率為 13%，隨機觀察當?shù)?150人，其中 至多 有 2人感染鉤蟲的概率有多大 ?至少有 2人感染鉤蟲的概率有多大 ?至少 有 20人感染鉤蟲的概率有多大 ? 至多有 2名感染的概率為 : 至少有 2名感染的概率為 : 至少有 20名感染的概率為 : 第三節(jié) Poisson分布的概念與特征 一、 Poisson分布的概念 Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述 罕見事件 發(fā)生次數(shù)的概率分布。 Poisson分布也可用于研究單位時間內(nèi) (或單位空間、容積內(nèi) )某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布，如分析在單位面積或容積內(nèi)細菌數(shù)的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動物數(shù)的分布，粉塵在觀察容積內(nèi)的分布，放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)放射出質(zhì)點數(shù)的分布等。 Poisson分布一般記作 。 Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率 π 很小，而觀察例數(shù)很大時的二項分布。除要符合二項分布的三個基本條件外， Poisson分布還要求 π或 1π接近于 0和 1。有些情況 π和 n都難以確定，只能以觀察單位 (時間、空間、容積、面積 )內(nèi)某種稀有事件的發(fā)生數(shù) X等
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