lebesgue積分的定義與性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-11-14 15:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ???? nk mmkjjm klxflxmElk1 1}~)(~|{~?? ???? nk kkklxflxmEl1 1})(|{)(DS?)~()()()~( DSDSDSDS ?????)~()()()( DSDSDSDS ?????D?第 16講 Lebesgue積分的定義與性質(zhì) “大和 ” 不增 ， “ 小和 ” 不減 ， 且 中任一 數(shù)不超過 中任一數(shù) ， 從而 。 再證 。 設(shè) D為任意的分點組 ， 則由 于 故 )}({ DS)}({ DS SS ?SS ?),()( DSSSDS ???mEDlxflxmEllDSDSSSnkkkkk )(})(|{)( )()(0111 ??????????????第 16講 Lebesgue積分的定義與性質(zhì) 令 時，則 進(jìn)而 。 最后 ， 令 ， 往證 注意到 ， ， 故 0)( ?D? ,0)()( ?? DSDS0?? SSSSS ?? 。 )(l i m0)( SDSD ???)()( DSSDS ?? )()()( DSDSDS ??,)()()()( mEDDSDSDSS ?????mEDDSDSSDS )()()()( ?????第 16講 Lebesgue積分的定義與性質(zhì) 由此可見 所以 ， 即 f有 E上 Lebesgue可 積 。 證畢 。 （ 3） 例 例 設(shè) ,)()()(|)(| mEDDSDSSDS ?????SDSD ?? )(lim 0)(?則D (x ) 為[0 ,1 ]中無 0 為[0 ,1 ]中有 1D ( x )????第 16講 Lebesgue積分的定義與性質(zhì) 在 [0,1]上 Lebesgue可積 ， 且 事實上 ,對于任一分點組 ,若 則 ，且對任意 ，有 ，而 對其它的分點 總有 所以 。 0)(]1,0[ ??dxxD。 : 1 no lllD ??? ?1})(|{ 1 ???? kk lxflxmEkkkk ll ??? ?? 1, )(|0||| Dkk ??? ???,1 ii ll ??,0})(|{ 1 ???? ii lxflxmE第 16講 Lebesgue積分的定義與性質(zhì) 令 立得 不難看出 ， 在 [0， 1]上不是 riemann 可積的 。 所以 ， Lebesgue可積函數(shù)類比 Riemann可積函數(shù)類要廣 。 ),(|||)(| DDS k ?? ?? 0)( ?D?? ?]1,0[ 0)( dxxD)(xD第 16講 Lebesgue積分的定義與性質(zhì) 二 ． Lebesgue積分的性質(zhì) 問題 2：回憶 Riemann積分的性質(zhì) ，由此猜測 Lebesgue積分應(yīng)具有什么性質(zhì) ？ 第 16講 Lebesgue積分的定義與性質(zhì) *定理 2 設(shè) 都是 E上的 有界可測函數(shù) ， 則 （ i） 對任意 證明：從積分定義立知（ i）是顯然的。 )(),(, xgxfmE ??,1R
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