定積分的概念及性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-09-01 04:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ???? nn ab yyy ?將 [a , b] 分成 n 等份 : a b xoyix1?ix(左矩形公式 ) )( 21 nn ab yyy ???? ? ?(右矩形公式 ) ? ba xxf d)(.2 xyxyxy n ??????? ?21? ba xxf d)(.3xyy ii ??? ][21 1? ?)()(21 110 ??????? nn yyyyn ab ?(梯形公式 ) ????11ni為了提高精度 , 還可建立更好的求積公式 , 例如辛普森 a b xoyix1?ix公式 , 復化求積公式等 , 并有現(xiàn)成的數(shù)學軟件可供調(diào)用 . 例 4 設函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ]1,0[ 上連續(xù)，且取正值 . 證明 nn nnfnfnf ??????????????????????21l i m?????? ??????????????????????nn nnfnfnfe ?21limlnnn nnfnfnf ??????????????????????21lim試證 .10)(ln?? dxxfe利用對數(shù)的性質(zhì)得 ???????? ??? nifnnine 1ln1l i m nnifnine1lnl i m1????????? ??? 指數(shù)上可理解為： )(ln xf 在 ]1,0[ 區(qū)間上的一個積分和． 分割是將 ]1,0[ n 等分分點為 nix i ? ， （ ni ,2,1 ?? ）?????? ??????????????????????nn nnfnfnfe ?21lnl i m極限運算與對數(shù)運算換序得 nnifnin1lnl i m1??????????? ?? 10 )(ln dxxf故 nn nnfnfnf ??????????????????????21l i m.10)(ln?? dxxfe因為 )( xf 在區(qū)間 ]1,0[ 上連續(xù)，且 0)( ?xf所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意義且可積 ,對定積分的 補充規(guī)定 : （ 1 ）當 ba ? 時， 0)( ?? ba dxxf ；（ 2 ）當 ba ? 時， ?? ?? abba dxxfdxxf )()( .說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。? 基本內(nèi)容 三、定積分的性質(zhì) 證 ? ?ba dxxgxf )]()([iiinixgf ??? ???)]()([lim10???iinixf ?? ???)(l i m10?? iinixg ?? ???)(lim10???? ba dxxf )( .)(?? ba dxxg? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )( .（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況） 性質(zhì) 1 ?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 為常數(shù) ).證 ?ba dxxkf )( iinixkf ?? ???)(lim10??iinixfk ?? ???)(lim10?? iinixfk ?? ???)(l i m10??.)(?? ba dxxfk性質(zhì) 2 ? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()( .補充 ：不論 的相對位置如何 , 上式總成立 . cba ,例若 ,cba ??假設 bca ??性質(zhì) 3 a b c?ca dxxf )( ?? ?? cbba dxxfdxxf )()(?ba dxxf )( ?? ?? cbca dxxfdxxf )()(.)()( ?? ?? bcca dxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性） 則 dxba ?? 1 dxba?? ab ?? .則 0)( ?? dxxfba . )( ba ?證 ,0)( ?xf? ,0)( ??? if ),2,1( ni ??,0?? ix? ,0)(1???? ??iinixf},m a x { 21 nxxx ???? ??iinixf ?? ???)(l i m10?? .0)(? ??ba dxxf性質(zhì) 4 性質(zhì) 5 如果在區(qū)間 ],[ ba 上 0)( ?xf ，例 1 比較積分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小 .解 令 ,)( xexf x ?? ]0,2[??x,0)( ?xf? ,0)(0 2 ??? ?? dxxe xdxe x??? 02 ,02 dxx???于是 dxe x?? 20 .20 dxx???性質(zhì) 5的推論： 證 ),()( xgxf ?? ,0)()( ??? xfx,0)]()([ ??? ? dxxfxgba,0)()( ?? ?? baba dxxfdxxg于是 dxxfba? )( dxxgba?? )( .則 dxxfba? )( dxxgba?? )( . )( ba ?如果在區(qū)間 ],[ ba 上 )()( xgxf ?， （ 1） dxxfba? )( dxxfba?? )( .)( ba ?證 ,)()()(
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