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正文內(nèi)容

重積分的概念及其計(jì)算法(編輯修改稿)

2025-05-27 12:24 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 分, zyxzyxfI ddd),( ????? 所圍成的區(qū)域 與 : ??????? z,yxxyz1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 例 4 將 化為三次積分, zyxzyxfI ddd),( ????? 所圍成的區(qū)域 與 : ??????? z,yxxyzz =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 例 4 將 化為三次積分, zyxzyxfI ddd),( ????? 所圍成的區(qū)域 與 : ??????? z,yxxyz1 1 z =0 o z x x+ y=1 y ? ?? ??Dxy zzyxfyxI0 )d,(ddzzyxfyx xyx d),(dd 01 010 ??? ??z=xy . z三重積分的截面計(jì)算法 ?)(zF d x d yzyxfzD?? ),(即 .),(),( 21 ???????? zDccdxdyzyxfdzdvzyxf向某軸作投影把積分區(qū)域 ?)1( ,軸例如 )( z;得投影區(qū)間 ],[ 21 cc,任取 ],[)2( 21 ccz ? 面,作平面平行于過點(diǎn) x o yz;得截面截區(qū)域 zD?上計(jì)算二重積分在 zD)3(? 21 )(],[)4( 21 cc dzzFcc .上計(jì)算定積分最后在例 1 計(jì)算三重積分 ????z d x d y d z , 其中 Ω 為三坐標(biāo)面及平面 1??? zyx 所圍成的閉區(qū)域 . xozy111解 ( 三 ) ,軸上任取點(diǎn)在 ]1,0[?zz得區(qū)域面,截作平面平行 ?xoy,}0,0,1|),{( ?????? yxzyxyxD zzDd x d y d zz?????dzzz 210 )1(21 ?? ?????zDdxdydzz10.241?例 5 計(jì)算三重積分 d x d y d zz????2,其中是 Ω 由 橢球面 1222222???czbyax所成的空間閉區(qū)域 . xyzozD解 所 以 原 式 ?????zDccd x d ydzz 2 }1,|),{( 222222czbyaxczczyx ??????????? ?? c c dzzczba 222)1(?.154 3abc??三、三重積分的柱面坐標(biāo)計(jì)算法 0 x z y M(x,y,z) ? r N(x,y,0) x y z 設(shè)點(diǎn) M(x, y, z) 是空間任一點(diǎn), . 故點(diǎn) M (x, y, z) ? ?,???? r0 ,?? 20 ??.?????? z且有: r ? 由圖可知直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系: 柱面坐標(biāo) ,記作 ,s i nc o s????????zzryrx??可以證明柱面坐標(biāo)系下的 體積元素 為: .dzdr drdv ??為常數(shù)r 圓柱面; 為常數(shù)? 半平面; 為常數(shù)z 平 面. ),( zr ?的稱為點(diǎn)有序數(shù)組 Mzr ),( ?.),( zrM ?由前面的討論可知: 在柱面坐標(biāo)系下三重積分可表示為 .),s i n,c o s(),( dzd r drzrrfdvzyxf ????????? ???.),s i n,c o s(),(),(21dzzrrfr dr dD x yrzrz?? ?? ?????,計(jì)算例 dvyx????? )(6 22 .||222???????hzRyx:其中解 dzyxdx dyhhD xy??? ? ?? )( 22原式dzd r dr hhD xy??? ?? ?3??? ?? h hR dzdrrd 0 320 ? ? .4hR??1 0 x z y Dxy 1 .017 222 ?????? ????zzyxz d x d y d zI ,:其中,例解 ,: 2210 yxz ??????.122 ?? yxD xy :zzyxIxyDyx ddd 2210?? ?????zzrr r ddd 2101020 ??? ?? ? ?.4??0 x z y 1 Dxy 1 zyxyxI ddd118 22???? ???例所圍成.及由其中 122 ???? zyxz1 解 ,: 122 ???? zyx?.122 ?? yxD xy :zrrrIxyDrd11dd 1 2?? ? ??? ???? ?? 1 1 0 22 0 dd1d r zrr r? ?? ??? 1 0 22d12 rr rr?? ???? 10 2 )d111(2 rrr? ).222( l n ?? ???例 9 計(jì) 算 ?????? d x d y d zyxI )(22, 其 中 Ω 是 曲 線 zy 22 ? , 0?x 繞 oz 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 而 成 的 曲 面 與 兩 平 面 ,2?z 8?z 所 圍 的 立 體 . 解 由 ?????022xzy 繞 oz 軸 旋 轉(zhuǎn) 得 的 旋 轉(zhuǎn) 面 方 程 為 ,zyx 222 ??所圍立體 Ω1在 xoy 面上的投影區(qū)域 D1為: ,1622 ?? yx
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