[小學(xué)教育]d3_1定積分概念與性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-01-03 23:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 對(duì)任意的 ? ? 0， 總存在相應(yīng)的某一分割 , 使得當(dāng) 積的充要條件是： 0 , 0 ,??? ? ? ? 當(dāng) ?d 時(shí)， 分割出的所有子區(qū)間的長(zhǎng)度的最大值 d ?? 時(shí) ,（ *） 1.niiix??????（ *） 式成立。 （證明略 .） 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 可積函數(shù)類 若 則 f 在 [a, b]上可積 . [ , ] ,f C a b?證明 ：因?yàn)? f 在 [a , b] 上連續(xù)，故一致連續(xù)，即 0 , 0 ,??? ? ? ? 當(dāng) 1 2 1 2, [ , ] ,x x a b x x ?? ?? ? ? ,有 12| ( ) ( ) | .f x f x ???任意分割 [a , b]為 n 個(gè)子區(qū)間 1[ , ] , 1 , 2 , ,iix x i n? ?使 .d ?? 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)， 12 1, [ , ] ,i i i ixx?? ???使得 111[ , ]2[ , ]( ) m a x ( ) ,( ) m i n ( )iiiiiix x xii x x xf M f xf m f x??????? ? ? ??? ?? ?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從而有 12( ) ( ) , 1 , 2 , , .i i i i if f M m i n? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?故當(dāng) d ?? 時(shí)，必有 11( ) ,nni i iiix x b a? ? ???? ? ? ? ???由定理 ， f 在 [a , b] 上可積。 證畢！ 解釋：對(duì) [a , b] 的任意分割，當(dāng) d 充分小時(shí)， f 在每個(gè)子區(qū)間上的振幅都能任意小。 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 設(shè) f 在區(qū)間 [a, b]上有界，若 f 在 [a, b]上只 有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)或者在 [a, b]上單調(diào) , 則 f 在 [a, b]上可積 . （證明略 .） 解釋：當(dāng) d 充分小時(shí)，雖不能保證 f 在每個(gè)子 區(qū)間上的振幅都任意小，但振幅不能任意小的所有 子區(qū)間長(zhǎng)度之和可以任意小。這樣函數(shù)也可積。 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 O 1 xyni取 例 1. 利用定義計(jì)算定積分 將 [0,1] n 等分 , 分點(diǎn)為 2xy ?, 則 解 : 由于 2( ) [ 0 , 1 ] ,f x x C??因此在 [0 , 1] 上可積。 iiii xxf ??? 2)( ?? 32ni?則有 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 iinixf ???)(1? ???niin 1231)12)(1(611 3 ???? nnnn)12)(11(61 nn ???inii xxx ??? ???? 120102 limd ????? nlim31?注 注 O 1 xyni2xy ?注 . 當(dāng) n 較大時(shí) , 此值可作為 的近似值 xx d10 2?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 121lim)2(??????ppppn nn?? ?nnipn1lim1?????nixx p d10?? i?ix?例 2. 用定積分表示下列極限 :
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