數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)-中心極限定理探討及應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-06-26 01:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （9） （10）在這些記號下，由（6） 故林德貝格條件可化為：對任意， ； （11）而(2)式化為：對均勻的有 （12）如果在條件（11）下，能夠證明的特征函數(shù) 亦即 （13） 那么根據(jù)定理3．2．3[4]，（12）成立；再由定理3．1．3，（12）中收斂對還是均勻的，于是定理3得以證明．現(xiàn)在也就是只要證出（13）成立 則問題得證 為了證明（13），分兩步．（甲）先證可展開為 ， （14）其中函數(shù)在任意有窮區(qū)間內(nèi)趨于實際上，由（9）中前一式 （15）根據(jù)（5） ． （16）其中任意．由（11），對一切充分大的有；從而關(guān)于及任何有限區(qū)間中的，同時有 因而對任意，均勻的有． （17）特別，當(dāng)時，對一切充分大的，下式成立： （18）因此，在中，有展開式 （19）其中 由（18） ；但由（16）中第一個不等式及（10） 故 由（17）可見當(dāng)時，關(guān)于任意有窮區(qū)間中的均勻的有 （20）（乙）令 由（15）得 ． （21）如果能夠證明：對任意有窮區(qū)間中的均勻的有 ． (22)那么以（21）代入（14）并聯(lián)合（甲）中的結(jié)論即得證(13),而且（13）中的收斂對任意有窮區(qū)間內(nèi)的均勻，從而定理得以完全證明．今證（22），由（10） 對任意， 由（4）（5）得 由（10）可見：對，有 （23）對任意，可選使 又由（11），存在正整數(shù)，使對此及，有 （24）于是當(dāng)時，對一切，有 2．3．2李雅普諾夫中心極限定理如對獨立隨機變數(shù)列，存在常數(shù)，使當(dāng)時有 （25）則（2）對均勻的成立． 證．只要驗證林德貝格條件滿足，由（25） 例3 一份考卷由99個題目組成,并按由易到難順序排列．某學(xué)生答對第1題的概率為0．99。答對第2題的概率為0．98。一般地，他答對第題的概率為．加入該學(xué)生回答各題目是相互獨立的，并且要正確回答其中60個題目以上（包括60個）才算通過考試．試計算該學(xué)生通過考試的可能性多大？ 解 設(shè) 于是相互獨立，且服從不同的二點分布： 而我們要求的是 ． 為使用中心極限定理，我們可以設(shè)想從開始的
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