44數(shù)字特征與極限定理-wenkub
2022-09-12 15:06:47 本頁面
【正文】 . ???????? ???????? ??? ?中心 中心 為此需要引進另一個數(shù)字特征 ,用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度 . 這個數(shù)字特征就是我們要介紹的 方差 一、方差的定義 采用平方是為了保證一切 差值 XE(X)都起正面的作用 由于它與 X具有相同的度量單位，在實際問題中經(jīng)常使用 . 方差的算術(shù)平方根 稱為標(biāo)準(zhǔn)差 )( XD設(shè) X是一個隨機變量 ， 若 E[(XE(X)]2∞， 則稱 D(X)=E[XE(X)]2 (1) 為 X的方差 . 若 X的取值比較分散，則方差較大 . 若方差 D(X)=0,則 X 以概率 1取常數(shù)值 . 方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 . 若 X的取值比較集中，則方差較??； D(X)=E[XE(X)]2 X為離散型， P(X=xk)=pk 由定義知，方差是隨機變量 X的函數(shù) g(X)=[XE(X)]2的 數(shù)學(xué)期望 . ???????????????,)()]([,)]([)(212dxxfXExpXExXDkkkkX為連續(xù)型， X~f(x) 二、計算方差的一個簡化公式 D(X)=E(X2)[E(X)]2 展開 證： D(X)=E[XE(X)]2 =E{X22XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)[E(X)]2 利用期望 性質(zhì) 請自己用此公式計算常見分布的方差 . 例 1 設(shè) X服從幾何分布，概率函數(shù)為 P(X=k)=p(1p)k1, k=1,2,… ， n 其中 0p1,求 D(X) 解： 記 q=1p ?????11)(kkk p qXE ????1)39。 當(dāng) X為連續(xù)型時 ,X的密度函數(shù)為 f(x). ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 1 該公式的重要性在于 : 當(dāng)我們求 E[g(X)]時 , 不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了 . 這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便 . 將 g(X)特殊化，可得到各種數(shù)字特征 : )( kXEk 階原點矩))](([ kXEXEk ?階中心矩)|(| kXEk 階絕對原點矩)|)((| kXEXEk ?階絕對中心矩其中 k 是正整數(shù) . 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè) C是常數(shù)，則 E(C)=C。 ????????可以得到這 100天中 每天的平均廢品數(shù)為 這個數(shù)能否作為 X的平均值呢？ 可以想象，若另外統(tǒng)計 100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的 100天一般不會完全相同，這另外 100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是 . n0天沒有出廢品 。 200小時 因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 . 我們先介紹隨機變量的數(shù)學(xué)期望 . 在這些數(shù)字特征中，最常用的是 期望 和 方差 隨機變量的數(shù)學(xué)期望是概率論中最重要的概念之一 . 它的定義來自習(xí)慣上的平均概念 . 我們從離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望開始 . 一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 概念的引入： 某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察 . 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X是一個隨機變量 . 如何定義 X的平均值呢？ 某電話交換臺每天 8:009:00收到的呼叫數(shù)X是一個隨機變量 . 如何定義 X的平均值即該交換臺每天 8:009:00收到的平均呼叫數(shù)呢？ 我們來看第一個問題 . 若統(tǒng)計 100天 , 例 1 某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察 . 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X是一個隨機變量 . 如何定義 X的平均值呢？ 32天沒有出廢品 。 30天每天出
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