44數(shù)字特征與極限定理-文庫(kù)吧資料
2024-09-09 15:06本頁(yè)面
【正文】 xi+1)的概率是 ? ? 1 )(iixx dxxfii xxf ?? )(小區(qū)間 [xi, xi+1) 陰影面積 近似為 ii xxf ?)())(( 1 iii xxxf ?? ?小區(qū)間 [Xi, Xi+1) 由于 xi與 xi+1很接近 , 所以區(qū)間 [xi, xi+1)中的值可以用 xi來(lái)近似代替 . ? ?iiii xxfx )(這正是 ???? dxxfx )(的漸近和式 . 陰影面積 近似為 ii xxf ?)(近似 , ii xxf ?)(因此 X與以概率 取值 xi的離散型 該離散型 的數(shù)學(xué)期望 是 由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義 . 定義 2 設(shè) X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù) 為 f (x),如果 ? ??? dxxfx )(||有限 ,定義 X的數(shù)學(xué)期望為 ? ???? dxxfxXE )()(也就是說(shuō) ,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分 . 2)(baXE ??若 X~U(a,b),即 X服從 ( a,b)上的均勻分布 ,則 ??)( XE若 X服從 則),( 2??N??)( XE若 X服從參數(shù)為 的泊松分布，則?由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算得： 這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個(gè)成年男子，分別測(cè)量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是 . )( ?? ?XE 已知某地區(qū)成年男子身高 X~ ),.( 2681 ?N三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問(wèn)題的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量 X的分布，我們需要計(jì)算的不是 X的期望，而是 X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō) g(X)的期望 . 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ? 一種方法是，因?yàn)?g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的 X的分布求出來(lái) . 一旦我們知道了 g(X)的分布，就可以按照期望的定義把 E[g(X)]計(jì)算出來(lái) . 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 . 那么是否可以不先求 g(X)的分布而只根據(jù) X的分布求得 E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的 . 類(lèi)似引入上述 E(X)的推理，可得如下的基本公式 : 設(shè) X是一個(gè)隨機(jī)變量， Y=g(X)，則 ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 1當(dāng) X為離散型時(shí) ,P(X= xk)=pk 。 n1天每天出一件廢品 。 21天每天出三件廢品 。 30天每天出一件廢品 。 數(shù)字特征與極限定理 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量 X的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了 . f (x) x o x P(x) o 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的 . 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了 . 某型號(hào)電視機(jī)的平均壽命 18000小時(shí) 177。 200小時(shí) 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 . 我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 . 在這些數(shù)字特征中，最常用的是 期望 和 方差 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是概率論中最重要的概念之一 . 它的定義來(lái)自習(xí)慣上的平均概念 . 我們從離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望開(kāi)始 . 一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 概念的引入： 某車(chē)間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 . 車(chē)工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X是一個(gè)隨機(jī)變量 . 如何定義 X的平均值呢？ 某電話(huà)交換臺(tái)每天 8:009:00收到的呼叫數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量 . 如何定義 X的平均值即該交換臺(tái)每天 8:009:00收到的平均呼叫數(shù)呢？ 我們來(lái)看第一個(gè)問(wèn)題 . 若統(tǒng)計(jì) 100天 , 例 1 某車(chē)間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 . 車(chē)工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X是一個(gè)隨機(jī)變量 . 如何定義 X的平均值呢？
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