44數(shù)字特征與極限定理-展示頁
2024-09-13 15:06本頁面
【正文】 32天沒有出廢品 。 17天每天出兩件廢品 。 ????????可以得到這 100天中 每天的平均廢品數(shù)為 這個(gè)數(shù)能否作為 X的平均值呢？ 可以想象，若另外統(tǒng)計(jì) 100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的 100天一般不會(huì)完全相同，這另外 100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是 . n0天沒有出廢品 。 n2天每天出兩件廢品 。 當(dāng) X為連續(xù)型時(shí) ,X的密度函數(shù)為 f(x). ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 1 該公式的重要性在于 : 當(dāng)我們求 E[g(X)]時(shí) , 不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了 . 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便 . 將 g(X)特殊化，可得到各種數(shù)字特征 : )( kXEk 階原點(diǎn)矩))](([ kXEXEk ?階中心矩)|(| kXEk 階絕對(duì)原點(diǎn)矩)|)((| kXEXEk ?階絕對(duì)中心矩其中 k 是正整數(shù) . 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè) C是常數(shù)，則 E(C)=C。 2. 若 k是常數(shù)，則 E(kX)=kE(X)。 ?????niinii XEXE11)(][:推廣?????niinii XEXE11)(][:推廣（諸 Xi獨(dú)立時(shí)） 注意 :由 E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出 X,Y獨(dú)立 五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用 例 1 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望 若 X~B(n,p)， 則 X表示 n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù) . 現(xiàn)在我們來求 X的數(shù)學(xué)期望 . 可見，服從參數(shù)為 n和 p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望是 np. X~B(n,p), 若設(shè) 則 X= X1+X2+…+ Xn = np ????次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiX i01i=1,2， … ， n 因?yàn)? P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1p ??niiXE1)(所以 E(X)= 則 X表示 n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù) . E(Xi)= )1(01 pp ???? = p 例 2 把數(shù)字 1,2,… ,n任意地排成一列 ， 如果數(shù)字 k恰好出現(xiàn)在第 k個(gè)位置上 ， 則稱為一個(gè)巧合 ， 求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望 . 由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解 : 設(shè)巧合個(gè)數(shù)為 X, ????否則，個(gè)位置上恰好出現(xiàn)在第數(shù)字0,1 kkXk k=1,2, …, n ???nkkXX1則 !)!1(nn ??n1????nkkXEXE1)()(故 11 ???nn引入 例 3 設(shè)甲、乙兩人玩必分勝負(fù)的賭博游戲，假定游戲的規(guī)則不公正，以致兩人獲勝的概率不等，甲為 p,乙為 q， pq,p+q=乙的不利地位，另行規(guī)定兩人下的賭注不相等，甲為 a, 乙為 b, ab. 現(xiàn)在的問題是： a究竟應(yīng)比 b大多少，才能做到公正？ 解：設(shè)甲贏的錢數(shù)為 X，乙贏的錢數(shù)為 Y， 依題意 ,~ ???????? ?qpabX ,~ ???????? ?pqbaY解：設(shè)甲贏的錢數(shù)為 X，乙贏的錢數(shù)為 Y， 為對(duì)雙方公正 ,應(yīng)有 依題意 ,~ ???????? ?qpabX ,~ ???????? ?pqbaYE(X)=bp+(a)q, E(Y)=aq+(b)p bpaq=aqbp=0, qbpa ?故 期望與風(fēng)險(xiǎn)并存．?dāng)?shù)學(xué)家從期望值來觀察風(fēng)險(xiǎn)，分析風(fēng)險(xiǎn)，以便作出正確的決策． 例如，有一家個(gè)體戶，有資金一筆，如經(jīng)營(yíng)西瓜，風(fēng)險(xiǎn)大但利潤(rùn)高 (成功的概率為，獲利 2020元 )； 如經(jīng)營(yíng)工藝品，風(fēng)險(xiǎn)小但獲利少 (95％會(huì)賺，但利潤(rùn)為 1000元 )．究竟該如何決策？ 所以權(quán)衡下來，情愿“搏一記”，去經(jīng)營(yíng)西瓜，因它的期望值高． 于是計(jì)算期望值： 若
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1