lebesgue積分極限定理-展示頁
2025-01-28 09:29本頁面
【正文】 ? ? ?1nnf x f x x?????? ?? ? ? ?1.nEE nf x d x f x d x????? ???由于 類似的， ? ? ? ?1nEnf x x dx????? ? ?? ?1 nEnf x d x???? ? ?? ?E f x d x??6 于是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ? ? ? ?1 nEEnf x d x f x d x????? ? ?? ??不妨設(shè) ? ? .E f x d x? ???f E若 在 上積分存在， ? ?E f x dx?? ? ?E f x dx??與 至少一個(gè)有限， ? ?nEf x d x? ???n?特別的， fnE所以 在 上積分存在。1 Lebesgue積分的極限定理 nf f若 每個(gè) 都可積，則 是否可積？ 已接觸的例子？ 在 Riemann積分或 Lebesgue積分框架下考慮問題： 在 Riemann積分框架下，要附加很強(qiáng)條件，使得積 分與極限可以交換次序， 而在 Lebesgue積分框架下，條件很弱！ ? ?nf .f設(shè) 是函數(shù)列且按照某種意義收斂到 f nf f若 可積，那么 積分的極限是否為 的積分？ 即積分與極限是否可以交換次序？ 定理 （ Lebesgue基本定理） ? ?? ?nfx設(shè) 是可測(cè)集合 E上 非負(fù)可測(cè)函數(shù)列， ? ? ? ?1kkf x f x??? ?? ?E f x d x? ? ?1kEkf x dx??? ? ?則 證明關(guān)鍵： Levi漸升列積分定理。 3 注：非負(fù)可測(cè)函數(shù)的級(jí)數(shù)求和與積分次序可換。 ? ?f L E?若 ， 即 ? ?E f x d x? ???? ?E f x d x? ???? ?nEf x d x? ??? ? ?nEf x d x? ???n因而對(duì)每個(gè) ? ?.nf L E?故 8 ? ? ? ? ? ?E E Ef x d x f x d x f x d x????? ? ?? ? ? ?11nnEEnnf x dx f x dx????????????? ? ? ?? ?1 nnEEnf x d x f x d x??????? ??? ?1 nEnf x dx??? ? ?9 ? ? ? ?? ?in f :njg x f x j n??? ?ng? ? ? ?l im l imnnnng x f x?????證明：考慮非負(fù)函數(shù) 則 非負(fù)可測(cè)單調(diào)遞增，且 利
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