【正文】 understanding on the law of large numbers and the central limiting theorem. Key words: The law of large numbers,Central limit theorem,Expectation, Variance, Application 目 錄 緒 論 ......................................................................................................................................... 1 １ 大數(shù)定律的應(yīng)用 ..................................................................................................................... 1 引言 ................................................................................................................................. 1 預(yù)備知識 ......................................................................................................................... 1 相關(guān)定義 ............................................................................................................. 1 切比雪夫不等式及其應(yīng)用 ................................................................................. 2 幾類重要的大數(shù)定律的應(yīng)用 ......................................................................................... 3 切比雪夫大數(shù)定律及其在測繪方面的應(yīng)用 ..................................................... 3 伯努利大數(shù)定律及其在重復(fù)事件方面的應(yīng)用 ................................................. 4 辛欽大數(shù)定律及其在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用 ..................................................... 5 大數(shù)定律的意義 ............................................................................................................. 7 2 中心極限定理的應(yīng)用 ............................................................................................................... 7 前言 ................................................................................................................................. 7 幾類重要的中心極限定理的應(yīng)用 ................................................................................. 8 林德伯格定理及其在保險(xiǎn)方面的應(yīng)用 ............................................................. 8 列維定理及其在極限求解方面的應(yīng)用 ............................................................. 9 棣莫弗 拉普拉斯定理及其在實(shí)際生活方面的應(yīng)用 ...................................... 10 李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應(yīng)用 ............................... 13 3 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應(yīng)用 ................................................................................. 15 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應(yīng)用 ....................................................................... 15 結(jié)束語 ........................................................................................................................................... 16 致 謝 ....................................................................................................................................... 17 參考文獻(xiàn) ....................................................................................................................................... 18 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 緒 論 大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中很重要的定理 ,也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 聯(lián)系的關(guān)鍵所在 。較多文獻(xiàn)給出了不同條件下存在的大數(shù)定律和中心極限定理，并利用大數(shù)定律和中心極限定理得到較多模型的收斂性。但對于它們的適用范圍及在實(shí)際生活中的應(yīng)用涉及較少。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 ,起源于 17世紀(jì) ,發(fā)展到現(xiàn)在 ,已經(jīng)深入到科學(xué)和社會的許多領(lǐng)域 。 對問題的分析與解答 ,注重集知識性、科學(xué)性與趣味性于一體 ,有助于啟迪 思維 ,增長知識面 ,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的知識打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ) 。 但是 ， 任何事情的發(fā)生、發(fā)展都具有一定的客觀規(guī)律 。 預(yù)備知識 相關(guān)定義 在介紹大數(shù)定律之前 ,先介紹幾個(gè)相關(guān)定義： 定義 1 設(shè) ),2,1( ??nn? 為概率空間 ),( PF? 上定義的隨機(jī)變量序列（簡稱隨即序列） ,若存在隨即變數(shù) ? 使對任意 0＞? ， 恒有： ? ? 0lim ????? ??? nn p或 ? ? 1lim ????? ??? nn p,則稱隨即序列｛ n? ｝依概率收斂于隨機(jī)變量 ? （ ? 也可以是一個(gè)常數(shù)） ， 并用下面的符號表示： 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 )(lim pnn ?? ??? 或 ?? ? ?? pn 定義 2 設(shè) ??n? 為一隨即序列 ,數(shù)學(xué)期望 )( nE? 存在 ,令 ???ni in n 11 ?? ,若 ? ? )()(lim PoE nnn ???? ?? ， 則稱隨機(jī)序列 ??n? 服從大數(shù)定律 ， 或者說大數(shù)法則成立 。 切比雪夫（ Chebyshev）不等式的應(yīng)用 ： （ 1）已知期望和方差 ,我們就可以利用切比雪夫不等式估計(jì)在期望的 ? 鄰域的概率 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 例 1： 已知 正常男性成人 血液中 ,每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是 7300,均方差是 700,利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在 5200～ 9400之間的概率 。 例 2：使用某 儀器 測量已知量 a ,設(shè) n 次獨(dú)立得到的測量值為 ?? , 21 nXXX 。 則 ),2,1()(,)( 2 niXDXE ii ???? ?? , 儀器第 i 次測量誤差 iXa? 的數(shù)學(xué)期望2)(,)( ?? ???? ii XDaaXE 設(shè) 2)( aXY ii ?? 亦是相互獨(dú)立的具有相同分布隨機(jī)變量 ,在儀器無系統(tǒng)誤差時(shí)有 aXE i ?)( ,即 a?? ? ? ? ? niXDXEaXEYE iiii ,2,1,)()()()( 222 ???????? ?? 由切比雪夫大數(shù)定律 , 0??＞ ,有 1)1(lim 21 ?????? ?? ＜ni in YnP , 即 0＞?? ,有 1))(1(l i m 21 2 ??????? ?? ＜ni in aXnP 從而確定當(dāng) ??n 時(shí) ,隨機(jī)變量 ?? ?ni i aXn 12)(1 依概率收斂于 2? ,即當(dāng) n 充分大時(shí) , 可以用 ?? ??ni in aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值 。 伯