【正文】 .................................................................................................................. 18 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 緒 論 大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中很重要的定理 ,也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系的關(guān)鍵所在 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 ,起源于 17世紀(jì) ,發(fā)展到現(xiàn)在 ,已經(jīng)深入到科學(xué)和社會(huì)的許多領(lǐng)域 。 從 17世紀(jì)到現(xiàn)在 ,很多國家對(duì)這兩個(gè)公式 有了多方面的研究 。 長期以來 ,在大批概率論統(tǒng)計(jì)工作者的不懈努力下 ,概率統(tǒng)計(jì)的理論更加完善 ,應(yīng)用更加廣泛 ,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要的地位 。 本文共分 3章 ,每章結(jié)合具體問題展開討論 ,內(nèi)容涉及對(duì)基本公式概念的理解 ,對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)的剖析 ,定理的具體應(yīng)用 ,結(jié)合實(shí)際 ,分析解答了有關(guān)的典型例題 。 對(duì)問題的分析與解答 ,注重集知識(shí)性、科學(xué)性與趣味性于一體 ,有助于啟迪思維 ,增長知識(shí)面 ,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ) 。 本文給出的例子 ,更貼近人們的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生活和生產(chǎn)管理 ,更具有時(shí)代氣息 。 這些例子能把 大數(shù)定律和中心極限定理 滲透到各種 實(shí)際 生活 中去 。 １ 大數(shù)定律的應(yīng)用 引言 生產(chǎn)、生活及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的風(fēng)險(xiǎn)事故都具有不確定性 ， 或者稱為隨機(jī)性 。 但是 ， 任何事情的發(fā)生、發(fā)展都具有一定的客觀規(guī)律 。 如果各種條件都能預(yù)知 ,則事物發(fā)生的結(jié)果 也能予以正確地測定， 此時(shí)雖然風(fēng)險(xiǎn)事故仍然存在 ， 損失仍然會(huì)發(fā)生 ， 但是 ， 隨機(jī)性將因此消失 。 如果有大量的事例可供考察研究 ， 則這些未知的、不確定的力量將有趨于平衡的自然傾向 ， 那些在個(gè)別事例中存在的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)將在大數(shù)中消失 ， 這種結(jié)論就是概率論中的大數(shù)定律 。 它的結(jié)論也可敘述為：大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消而呈現(xiàn)出某種必 然的數(shù)量規(guī)律 。 預(yù)備知識(shí) 相關(guān)定義 在介紹大數(shù)定律之前 ,先介紹幾個(gè)相關(guān)定義： 定義 1 設(shè) ),2,1( ??nn? 為概率空間 ),( PF? 上定義的隨機(jī)變量序列（簡稱隨即序列） ,若存在隨即變數(shù) ? 使對(duì)任意 0＞? ， 恒有： ? ? 0lim ????? ??? nn p或 ? ? 1lim ????? ??? nn p,則稱隨即序列｛ n? ｝依概率收斂于隨機(jī)變量 ? （ ? 也可以是一個(gè)常數(shù)） ， 并用下面的符號(hào)表示： 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 )(lim pnn ?? ??? 或 ?? ? ?? pn 定義 2 設(shè) ??n? 為一隨即序列 ,數(shù)學(xué)期望 )( nE? 存在 ,令 ???ni in n 11 ?? ,若 ? ? )()(lim PoE nnn ???? ?? ， 則稱隨 機(jī)序列 ??n? 服從大數(shù)定律 ， 或者說大數(shù)法則成立 。 定義 3 設(shè) ? ?)(xFn 是分布函數(shù)序列 ， 若存在一個(gè)非降函數(shù) )(xF ,對(duì)于它的每一連續(xù)點(diǎn) x ,都有 )()(lim xFxFnn ???, )()( xFxF wn ? ?? ， 則稱分布函數(shù)序列 ? ?)(xFn 弱收斂于 )(xF 。 定義 4 設(shè) ),2,1)(( ??nxFn , )(xF 分別是隨機(jī)變量 ),2,1( ??nn? 及 ? 的分布函數(shù) ,若 )()( xFxF wn ? ?? ,則稱 ??n? 依分布收斂于 ? 亦記為 ?? ? ?? Ln 且有： (1)若 ?? ? ?? pn 則 ?? ? ?? Ln ； (2)設(shè) c為常數(shù) ,則 cpn ? ??? 的充要條件是 cLn ? ??? 。 切比雪夫不等式及其應(yīng)用 切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X 具有有限數(shù)學(xué)期望 ? 和方差 2? ,則對(duì)于任意正數(shù) ? ,如下不等式成立 ， ? ?22???? ???XP或有 ? ?221???? ????XP 這個(gè)不等式可解釋為：對(duì)任意給定的正常數(shù) ? ,可以作出兩個(gè)區(qū)間 ),( ????? 和 ),( ????? ， 不等式 表示 ,在一次試驗(yàn)中 ,隨機(jī)變量 ? 的取值落在 ),( ????? ? ),( ????? 的 概率小于等于22?? 。 切比雪夫（ Chebyshev）不等式的應(yīng)用 ： （ 1）已知期望和方差 ,我們就可以利用切比雪夫不等式估計(jì)在期望的 ? 鄰域的概率 。 （ 2） 已知 期望和方差 ,對(duì)確定的概率 ,利用切比雪夫不等式求出 ? ,從而得到所需估計(jì)區(qū)間的長度 。 （ 3）對(duì) n 重伯努利試驗(yàn) ,利用切比雪夫不等式可以確定試驗(yàn)次數(shù) 。 （ 4）它是推導(dǎo)大數(shù)定律和其他定理的依據(jù) 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 例 1： 已知 正常男性成人 血液中 ,每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是 7300,均方差是 700,利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在 5200～ 9400 之間的概率 。 解 ： 設(shè) X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù) ,則 7300?EX , 700)( ?X? 則 ? ? ? ? ? ?2100730012100730094005200 ????????? XPXPXP 而 ? ? 91210070021007300 22 ????XP 所以 ? ? 9894005200 ??? XP 幾類重要的大數(shù)定律的應(yīng)用 切比雪夫大 數(shù) 定律及其在測繪方面的應(yīng)用 切比雪夫 大數(shù)定律 ：設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列 ?? , 21 nXXX 的數(shù)學(xué)期望 ),(),( 21 XEXE ?? ),(, nXE 與方差 ?? ),(,),(),( 21 nXDXDXD 都存在 ,并且方差是一致有上界的 ,即存在某一常數(shù) K ,使得 ?? ,2,1,)( niKXD i ?＜ ,則對(duì)于任意的正數(shù) ? ,有 1))(11(l i m11 ?? ?? ???? ?＜ni ini in XEnXnP。 推論 1： 設(shè)隨機(jī) 變量 ?? , 21 nXXX 相互獨(dú)立 ,且它們具有相同的分布及有限的數(shù)學(xué) 期望和方差： ),2,1(, 2 ???? iDxaEX ii ?,則對(duì)任意給定的正數(shù) ? ,有 1)1(lim ????? ?＜aXnP in ?！?1】 此推論表明： n 個(gè)相互獨(dú)立的具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的隨機(jī)變量 ,當(dāng) n 很大時(shí) ,它們的算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù) ,這個(gè)常數(shù)就是它們的數(shù)學(xué)期望 。 例 2：使用某 儀器 測量已知量 a ,設(shè) n 次獨(dú)立得到的測量值為 ?? , 21 nXXX 。 如果 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 儀器 無系統(tǒng)誤差 ,問 n 充分大時(shí) ,是否可以用 ?? ??nin aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值？ 分析：用 2? 表示 儀器 誤差的方差真值 。 如果 0＞?? ,恒有 1)(lim 22 ???? ?? ＜nn SP,則 n充分大時(shí) 2nS 就可以看作是 2? 的近似值 。 解：依題意 ,可以將觀察結(jié)果 ?? , 21 nXXX 看作是相互獨(dú)立具有相同分布的隨機(jī)變量 。 則 ),2,1()(,)( 2 niXDXE ii ???? ?? ,儀器第 i 次測量誤差 iXa? 的數(shù)學(xué)期望2)(,)( ?? ???? ii XDaaXE 設(shè) 2)( aXY ii ?? 亦是相互獨(dú)立的具有相同分布隨機(jī)變量 ,在儀器無系統(tǒng)誤差時(shí)有 aXE i ?)( ,即 a?? ? ? ? ? niXDXEaXEYE iiii ,2,1,)()()()( 222 ???????? ?? 由切比雪夫大數(shù)定律 , 0??＞ ,有 1)1(lim 21 ?????? ?? ＜ni in YnP , 即 0＞?? ,有 1))(1(l i m 21 2 ??????? ?? ＜ni in aXnP 從而確定當(dāng) ??n 時(shí) ,隨機(jī)變量 ?? ?ni i aXn 12)(1 依概率收斂于 2? ,即當(dāng) n 充分大時(shí) , 可以用 ?? ??ni in aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值 。 伯努利大數(shù)定律及其在重復(fù)事件方面的應(yīng)用 伯努利大數(shù)定律（頻率的穩(wěn)定性）：設(shè) n? 是 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù) ,p 是事件 A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率 ,則對(duì)于任意正數(shù) ε ,恒有 0l i m ??????? ???? ?? pnnn或 1lim ??????? ???? ?? pnnn【 2】 表明：隨著 n 的增大 ,事件 A 發(fā)生的頻率 nn? 與其 概率 p 的偏差 pnn ??大于預(yù)先給定 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 的精度 ? 的可能性愈來愈小 ,小到可以忽略不計(jì) 。 這就是頻率穩(wěn)定于概率的含義 ,或者說頻率依概率收斂于概率 。 這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性 ,因此 ,在實(shí)際應(yīng)用中 ,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí) ,便可以用時(shí)間發(fā)生的頻率來代替事件的概率 。 伯努利大數(shù)定律提供了用頻率來確定概率的理論依據(jù) 。 我們 可通過多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn) ,確定事件 A 在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率 為 )(n APPn ??μ。 譬如 ,拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率 p=