44數(shù)字特征與極限定理-文庫(kù)吧
2025-07-29 15:06 本頁(yè)面
【正文】 說(shuō) ,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和 . ????1)(kkk pxXE??? 1||kkk px如果 有限 ,定義 X的數(shù)學(xué)期望 例 1 某人的一串鑰匙上有 n把鑰匙 ， 其中只有一把能打開自己的家門 ， 他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門 . 若每把鑰匙試開一次后除去 ， 求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望 . 解 : 設(shè)試開次數(shù)為 X, P(X=k)= 1/n , k=1,2,…, n E(X) ????nk nk112)1(1 nnn???21?? n于是 二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè) X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn) x0 x1x2 …, 則 X落在小區(qū)間 [xi, xi+1)的概率是 ? ? 1 )(iixx dxxfii xxf ?? )(小區(qū)間 [xi, xi+1) 陰影面積 近似為 ii xxf ?)())(( 1 iii xxxf ?? ?小區(qū)間 [Xi, Xi+1) 由于 xi與 xi+1很接近 , 所以區(qū)間 [xi, xi+1)中的值可以用 xi來(lái)近似代替 . ? ?iiii xxfx )(這正是 ???? dxxfx )(的漸近和式 . 陰影面積 近似為 ii xxf ?)(近似 , ii xxf ?)(因此 X與以概率 取值 xi的離散型 該離散型 的數(shù)學(xué)期望 是 由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義 . 定義 2 設(shè) X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù) 為 f (x),如果 ? ??? dxxfx )(||有限 ,定義 X的數(shù)學(xué)期望為 ? ???? dxxfxXE )()(也就是說(shuō) ,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分 . 2)(baXE ??若 X~U(a,b),即 X服從 ( a,b)上的均勻分布 ,則 ??)( XE若 X服從 則),( 2??N??)( XE若 X服從參數(shù)為 的泊松分布，則?由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算得： 這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個(gè)成年男子，分別測(cè)量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是 . )( ?? ?XE 已知某地區(qū)成年男子身高 X~ ),.( 2681 ?N三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問(wèn)題的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量 X的分布，我們需要計(jì)算的不是 X的期望，而是 X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō) g(X)的期望 . 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ? 一種方法是，因?yàn)?g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的 X的分布求出來(lái) . 一旦我們知道了 g(X)的分布，就可以按照期望的定義把 E[g(X)]計(jì)算出來(lái) . 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 . 那么是否可以不先求 g(X)的分布而只根據(jù) X的分布求得 E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的 . 類似引入上述 E(X)的推理，可得如下的基本公式 : 設(shè) X是一個(gè)隨機(jī)變量， Y=g(X)，則 ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 1當(dāng) X為離散型時(shí) ,P(X= xk)=pk 。 當(dāng) X為連續(xù)型時(shí) ,X的密度函數(shù)為 f(x). ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 1 該公式的重要性在于 : 當(dāng)我們求 E[g(X)]時(shí) , 不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了 . 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便 . 將 g(X)特殊化，可得到各種數(shù)字特征 : )( kXEk 階原點(diǎn)矩))](([ kXEXEk ?階中心矩)|(| kXEk 階絕對(duì)原點(diǎn)矩)|)((| kXEXEk ?階絕對(duì)中心矩其中 k 是正整數(shù) . 四、
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