【正文】 ...................................................................................................................... 18 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 1 緒 論 大數定律和中心極限定理是概率論中很重要的定理 ,也是概率論與數理統(tǒng)計 聯系的關鍵所在 。 概率論與數理統(tǒng)計是研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數學學科 ,起源于 17世紀 ,發(fā)展到現在 ,已經深入到科學和社會的許多領域 。 從 17世紀到現在 ,很多國家對這兩個公式有了多方面的研究 。 長期以來 ,在大批概率論統(tǒng)計工作者的不懈努力下 ,概率統(tǒng)計的理論更加完善 ,應用更加廣泛 ,在現代數學中占有重要的地位 。 本文共分 3章 ,每章結合具體問題展開討論 ,內容涉及對基本公式概念的理解 ,對基礎理論知識的剖析 ,定理的具體應用 ,結合實際 ,分析解答了有關的典型例題 。 對問題的分析與解答 ,注重集知識性、科學性與趣味性于一體 ,有助于啟迪 思維 ,增長知識面 ,為進一步學習新的知識打下堅實的基礎 。 本文給出的例子 ,更貼近人們的社會、經濟、生活和生產管理 ,更具有時代氣息 。 這些例子能把 大數定律和中心極限定理 滲透到各種實際 生活 中去 。 １ 大數定律的應用 引言 生產、生活及科學實驗中的風險事故都具有不確定性 ， 或者稱為隨機性 。 但是 ， 任何事情的發(fā)生、發(fā)展都具有一定的客觀規(guī)律 。 如果各種條件都能預知 ,則事物發(fā)生的結果 也能予以正確地測定， 此時雖然風險事故仍然存在 ， 損失仍然會發(fā)生 ， 但是 ， 隨機性將因此消失 。 如果有大量的事例可供考察研究 ， 則這些未知的、不確定的力 量將有趨于平衡的自然傾向 ， 那些在個別事例中存在的隨機風險將在大數中消失 ， 這種結論就是概率論中的大數定律 。 它的結論也可敘述為：大量的隨機現象由于偶然性相互抵消而呈現出某種必然的數量規(guī)律 。 預備知識 相關定義 在介紹大數定律之前 ,先介紹幾個相關定義： 定義 1 設 ),2,1( ??nn? 為概率空間 ),( PF? 上定義的隨機變量序列（簡稱隨即序列） ,若存在隨即變數 ? 使對任意 0＞? ， 恒有： ? ? 0lim ????? ??? nn p或 ? ? 1lim ????? ??? nn p,則稱隨即序列｛ n? ｝依概率收斂于隨機變量 ? （ ? 也可以是一個常數） ， 并用下面的符號表示： 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 2 )(lim pnn ?? ??? 或 ?? ? ?? pn 定義 2 設 ??n? 為一隨即序列 ,數學期望 )( nE? 存在 ,令 ???ni in n 11 ?? ,若 ? ? )()(lim PoE nnn ???? ?? ， 則稱隨機序列 ??n? 服從大數定律 ， 或者說大數法則成立 。 定義 3 設 ? ?)(xFn 是分布函數序列 ， 若存在一個非降函數 )(xF ,對于它的每一連續(xù)點 x ,都有 )()(lim xFxFnn ???, )()( xFxF wn ? ?? ， 則稱分布函數序列 ? ?)(xFn 弱收斂于 )(xF 。 定義 4 設 ),2,1)(( ??nxFn , )(xF 分別是隨機變量 ),2,1( ??nn? 及 ? 的分布函數 ,若 )()( xFxF wn ? ?? ,則稱 ??n? 依分布收斂于 ? 亦記為 ?? ? ?? Ln 且有： (1)若 ?? ? ?? pn 則 ?? ? ?? Ln ； (2)設 c為常數 ,則 cpn ? ??? 的充要條件是 cLn ? ??? 。 切比雪夫不等式及其應用 切比雪夫不等式：設隨機變量 X 具有有限數學期望 ? 和方差 2? ,則對于任意正數 ? ,如下不等式成立 ， ? ?22???? ???XP 或有 ? ?221 ???? ????XP 這個不等式可解釋為：對任意給定的正常數 ? ,可以作出兩個區(qū)間 ),( ????? 和 ),( ????? ， 不等式 表示 ,在一次試驗中 ,隨機變量 ? 的取值落在 ),( ????? ? ),( ????? 的 概率小于等于22?? 。 切比雪夫（ Chebyshev）不等式的應用 ： （ 1）已知期望和方差 ,我們就可以利用切比雪夫不等式估計在期望的 ? 鄰域的概率 。 （ 2） 已知 期望和方差 ,對確定的概率 ,利用切比雪夫不等式求出 ? ,從而得到所需估計區(qū)間的長度 。 （ 3）對 n重伯努利試驗 ,利用切比雪夫不等式可以確定試驗次數 。 （ 4）它是推導大數定律和其他定 理的依據 。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 3 例 1： 已知 正常男性成人 血液中 ,每毫升白細胞數的平均值是 7300,均方差是 700,利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數在 5200～ 9400之間的概率 。 解 ： 設 X表示每毫升血液中含白細胞個數 ,則 7300?EX , 700)( ?X? 則 ? ? ? ? ? ?2100730012100730094005200 ????????? XPXPXP 而 ? ? 91210070021007300 22 ????XP 所以 ? ? 9894005200 ??? XP 幾類重要的大數定律的應用 切比雪夫大 數 定律 及其在測繪方面的應用 切比雪夫 大數定律 ：設獨立隨機變量序列 ?? , 21 nXXX 的數學期望 ),(),( 21 XEXE ?? ),(, nXE 與方差 ?? ),(,),(),( 21 nXDXDXD 都存在 ,并且方差是一致有上界的 ,即存在某一常數 K ,使得 ?? ,2,1,)( niKXD i ?＜ ,則對于任意的正數 ? ,有 1))(11(l i m11 ?? ?? ???? ?＜ni ini in XEnXnP。 推論 1： 設隨機變量 ?? , 21 nXXX 相互獨立 ,且它們具有相同的分布及有限的數學 期望和方差： ),2,1(, 2 ???? iDxaEX ii ?,則對任意給定的正數 ? ,有 1)1(lim ????? ?＜aXnP in ?！?1】 此推論表明： n 個相互獨立的具有相同數學期望和方差的隨機變量 ,當 n 很大時 ,它們的算術平均值幾乎是一常數 ,這個常數就是它們的數學期望 。 例 2：使用某 儀器 測量已知量 a ,設 n 次獨立得到的測量值為 ?? , 21 nXXX 。 如果 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 4 儀器 無系統(tǒng)誤差 ,問 n 充分大時 ,是否可以用 ?? ??nin aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值？ 分析：用 2? 表示 儀器 誤差的方差真值 。 如果 0＞?? ,恒有 1)(lim 22 ???? ?? ＜nn SP,則 n充分大時 2nS 就可以看作是 2? 的近似值 。 解：依題意 ,可以將觀 察結果 ?? , 21 nXXX 看作是相互獨立具有相同分布的隨機變量 。 則 ),2,1()(,)( 2 niXDXE ii ???? ?? , 儀器第 i 次測量誤差 iXa? 的數學期望2)(,)( ?? ???? ii XDaaXE 設 2)( aXY ii ?? 亦是相互獨立的具有相同分布隨機變量 ,在儀器無系統(tǒng)誤差時有 aXE i ?)( ,即 a?? ? ? ? ? niXDXEaXEYE iiii ,2,1,)()()()( 222 ???????? ?? 由切比雪夫大數定律 , 0??＞ ,有 1)1(lim 21 ?????? ?? ＜ni in YnP , 即 0＞?? ,有 1))(1(l i m 21 2 ??????? ?? ＜ni in aXnP 從而確定當 ??n 時 ,隨機變量 ?? ?ni i aXn 12)(1 依概率收斂于 2? ,即當 n 充分大時 , 可以用 ?? ??ni in aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值 。 伯努利大數定律及其在重復事件方面的應用 伯努利大數定律（頻率的穩(wěn)定性）：設 n? 是 n 次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數 ,p是事件 A在每次試驗中發(fā)生的概率 ,則對于任意正數 ε ,恒有 0l i m ??????? ???? ?? pnnn或 1lim ??????? ???? ?? pnnn【 2】 表明：隨著 n 的增大 ,事件 A 發(fā)生的頻率 nn? 與其 概率 p 的偏差 pnn ??大于預先給定 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 5 的精度 ? 的可能性愈來愈小 ,小到可以忽略不計 。 這就是頻率穩(wěn)定于概率的含義 ,或者說頻率依概率收斂于概率 。 這個定理以嚴格的數學形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性 ,因此 ,在實際應用中 ,當試驗次數很大時 ,便可以用時間發(fā)生的頻率來代替事件的概率 。 伯努利大數定律提供了用頻率來確定概率的理論依據 。 我們 可通過多次重復一個試驗 ,確定事件 A 在每次試驗中出現的概率 為 )(n APPn ??μ 。 譬如 ,拋一枚硬幣出 現正面的概率 p=。