極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-閱讀頁
2025-06-12 08:59本頁面
【正文】 )(lim0 xg xfxx?=)( )(lim 110 xg xfxx?。但是，不是乘除的情況，不一定能這樣做。如上 式 中 ， 若 因 有 tanx x~ ， )。 利用中值定理求極限 1 微分中值定理：若函數(shù) ()fx 滿足 ()i 在 [, ]ab 連續(xù) .(ii )在 (, )ab 可導(dǎo)；則在 (, )ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使 ( ) ( )() f b f af ba? ?? ? ? 例 14：求 30 sin(sin )limx xxx? ? 解 ： si n( si n ) si n ( si n ) c os[ ( si n ) ]x x x x x x x?? ? ? ? ? ? (0 1)??? 30 si n(si n ) si nlimx xxx? ? 30 ( s in ) c o s [ ( s in ) ]limx x x x x xx?? ? ? ? ? ?? 20 cos 1cos 0 lim 3x xx? ??? 0sinlim 6xxx??? 16?? 2 積分中值定理：設(shè)函數(shù) ()fx 在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) 。我們把兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作00型或??型的不定式極限。 定理：若 AxgxfxgxfAAxgxfiiixgxuxgfiixgxfixxxxxxxxxx??????????????)()(l i m)()(l i m()()(l i m)(0)()()(0)(l i m,0)(l i m)(39。39。39。 注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 要注意條件 ，也就是說，在沒有化為 ??,00 時(shí)不可求導(dǎo)。 要及時(shí)化簡極限符號 后面的分式，在化簡以后檢查是否認(rèn)為未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會引起錯(cuò)誤。39。 例 16： (1) 求0lnsinlim lnsinxmxnx? (2) 求0limxx x? 解 ： (1) 由00lim ln sin lim ln sinxxm x n x??? ? ? ? 所以上述極限是 ?? 待定型 0 0 01 s in c o s s in s inl im l im l im 1l n s in c o s s in s inx x xn m x m m x n x m n xn x n n x m x n m x? ? ??? ? ? ? ?? (2) 0limxx x?它為 0 型 由對數(shù)恒等式可得 lnx x xxe? ln0lim x x xx xe? ? 00lnlim ln lim 01xxxxxx????? ? ? 00lim 1xx xe? ?? 例 17：求 lim??x xx2tancos1? 解：容易檢驗(yàn) f(x)=1+ xcos 與 g(x)= x2tan 在 ??0x 的鄰域里滿足定理的條件①和②，又因lim??x )(39。xgxf =lim??x xx x 2sectan2 sin? = lim??x 212cos3 ?x 故 由洛比達(dá)法則求得， lim0xx? )()(xgxf =lim0xx? )(39。 xgxf =21 在此類題目中，如果 lim0xx? )(39。 xgxf 仍是 00 型的不定式極限，只要有可能，我們可再次利用洛比達(dá)法則，即考察極限 lim0xx? )(39。 xgxf 是否存在。 xf 和 )(39。 例 18：求)1ln( )21( 2210lim xxe xx ???? 解：利用 )1ln( 2x? 2~x （ 0?x ），則得 原式 =lim0?x 221)21(x xex ?? =lim0?x xxex 2 )21( 21??? =lim0?x1222 )21( 23???? ?xe x 在利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，如下例， 例 19：求 lim0??x xex?1 解：這是00型不定式極限，可直接運(yùn)用洛比達(dá)法則求解，但是比較麻煩。把所求極限的和式表 示成 ()fx在某區(qū)間 ? ?,ab 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 所以2 2 2 2 2 21l im 1 2 ( 1 )n n n nn n n n n?? ??? ? ???? ? ? ??? 2221 1 1 1l im2 1 11 1 ) 1 ( ) 1 ( )1(n nnnnn??????? ? ? ????????? 120 11 dxx? ?? 4?? 利用泰勒展開式求極限 泰勒公式是本章的一大難點(diǎn)，大家在學(xué)習(xí)時(shí)首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見的麥克勞林展開式。 泰勒展開式：若 ()fx在 0x? 點(diǎn)有直到 1n? 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,那? ? ? ?///2 ( ) ( )( 0 ) ( 0 ) ( )2 ! !n n nf x f xf x f f x x x R xn? ? ? ? ? ? ( 1) 1()()( 1)!n nn fR x xn ?? ??? ? ?01??? 例 21：求 2240coslim xxxex ??? 解 ：泰勒展開式 24 5c o s 1 0 ( )2 2 4xxxx? ? ? ? 2 24 52 1 0 ( )2 1 2x xxex? ? ? ? ? 于是 2 4 52c o s 0 ( )12x xx e x?? ? ? ? 所以2 4 5244000( )c os 112li m li m12xxxx xxexx?????? ? ? ? 換元法求極限 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。在實(shí)際學(xué)習(xí)中很多題是多種方法綜合運(yùn)用求解的 , 從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格， 我們應(yīng)具體問題具體分析，不能機(jī)械地用某種方法，對具體題目要注意觀察，有時(shí)解題可多種方法混合使用，要學(xué)會靈活運(yùn)用。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識博大精深，我們目前只接觸到一點(diǎn)點(diǎn)而已，我們應(yīng)不停的接受知識，雖 然我們還處在那數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)層，但這并不妨礙我們對數(shù)學(xué)的喜愛與學(xué)習(xí)
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