畢業(yè)論文多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用-展示頁(yè)
2025-01-21 19:58本頁(yè)面
【正文】 限內(nèi)的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的最小體積 . 解 此橢球在點(diǎn) 0 0 0( , , )P x y z 處的切平面為 0 0 00 0 02 2 22 2 2( ) ( ) ( ) 0x y zx x y y z za b c? ? ? ? ? ? 化簡(jiǎn) ,得 0 0 02 2 2 1x y zx y za b c? ? ? 此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為： 2 2 20 0 0,a b cx y z 則此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積 2 2 20 0 06abcV x y z? 由題意可知，體積存在最小值，要使 V 最小，則需 0 0 0xyz 最大； 即求目標(biāo)函數(shù) ( , , )f x y z xyz? 在條件 2 2 22 2 2 1x y za b c? ? ?下的最大值， 其中 0, 0, 0x y z? ? ?，拉格朗日函數(shù)為 2 2 22 2 2( , , , ) ( 1 )x y zL x y z x y z a b c??? ? ? ? ? 5 由 2222 2 22 2 220。20。 m i n 3( , , ) 2333a b cV V a b c?? 說明： 以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法，但在實(shí)際解題過程中，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來快速解題，如標(biāo)準(zhǔn)量代換 法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法 . 標(biāo)準(zhǔn)量代換法 求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí) ,我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量 ,稱其余各量為比較量 ,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來 ,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了 .如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式 ,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量 . 例 [4] 設(shè) x y z a? ? ? ,求 2 2 2u x y z? ? ? 的最小值 . 解 取 33x y z a??? 為標(biāo)準(zhǔn)量 , 令 ,33aaxy??? ? ? ?, 則 3az ??? ? ? ( ,??為任意實(shí)數(shù) ), 從而有 2 2 2( ) ( ) ( )3 3 3a a au ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 222 2 23a ? ? ??? ? ? ? 222 2 2()33aa? ? ? ?? ? ? ? ? ? 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 0????, 即 3ax y z? ? ? 時(shí)成立， 所以 u 的最小值為 23a . 不等式法 [4] 利用均值不等式 均值不等式是常用的不等式，其形式為 1212 nn n a a aa a a n? ? ??， 6 這里 0, 1, 2ka k n?? ，且等號(hào)成立的充分條件是 12 na a a? ? ? . 例 已知 1 1 1 12x y z? ? ?， ( 0, 0, 0)x y z? ? ?，求 ( , , ) 2 2 2f x y z x y z? ? ?的極小值 . 解 0, 0, 0,x y z? ? ? ( , , ) 2 2 2f x y z x y z? ? ? ? 14( ) 2x y z? ? ? 1 1 14 ( ) ( )x y zx y z? ? ? ? ? 4 ( 3 )x y y z x zy x z y z x? ? ? ? ? ? ? 4 (3 2 2 2 ) 3 6? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 6x y z? ? ? 時(shí)，等號(hào)成立 . 利用柯西不等式 柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù) 12, , , na a a 和 12,nb b b ，總有 21 1 2 2()nna b a b a b? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) ( )nna a a b b b? ? ? ? ? ? ,iia R b R??,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù) 12, , , na a a 與 1, 2, nbb b 對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，等號(hào)成立 .運(yùn)用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn) 而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值 . 例 已知 2 2 2( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) 9x y z? ? ? ? ? ?，求 ( , , ) 2 2f x y z x y z???的最值 . 解 首先將 ( , , ) 2 2f x y z x y z??? 變形為 ( , , )f x y z ? 2( 2) 2( 1 ) ( 4) 10x y z? ? ? ? ? ?； 再設(shè) ( , , ) 2( 2) 2( 1 ) ( 4)g x y z x y z? ? ? ? ? ?， 于是，根據(jù)柯西不等式及已知條件，有 ? ?22 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 4 )x y z? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 22 ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) 8 1x y z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 即： 9 2( 2) 2( 1 ) ( 4) 9x y z? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) 且僅當(dāng) 2 2 22 1 42 2 1( 2) ( 1 ) ( 4) 9x y z kx y z? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? 時(shí)，等號(hào)成立； 7 即當(dāng) 1435kxyz??? ??? ???? ??時(shí)， max( , , ) 9g x y z ? ； 當(dāng) 1013kxyz???? ??? ??? ??時(shí)， min( , , ) 9g x y z ??， 所以， max( , , ) 19f x y z ? ， min( , , ) 1f x y z ? . 二次方程判別式符號(hào)法 例 [5] 若 2 2 2 1x y z? ? ? ,試求 22f x y z? ? ? 的極值 . 解 因?yàn)? 1 ( 2 )2y x z f? ? ?, 代入 2 2 2 1x y z? ? ? 得 2 2 21 ( 2 ) 1 04x x z f z? ? ? ? ? ? 即 2 2 25 ( 4 2 ) ( 8 4 4) 0x z f x z f zf? ? ? ? ? ? ? (1) 這個(gè)關(guān)于 x 的二次方程要有實(shí)數(shù)解 , 必須 2 2 2( 4 2 ) 20( 8 4 4) 0z f z f zf? ? ? ? ? ? ? ? 即 224 9 5 0f zf z? ? ? ? 解關(guān)于 f 的二次不等式 ,得 : 222 5 ( 1 ) 2 5 ( 1 ) 1 1z z f z z z? ? ? ? ? ? ? ? ? 顯然 ,求函數(shù) f 的極值 , 相當(dāng)于求 22 5 (1 ) 1 1f z z z? ? ? ? ? ? (2) 或 22 5 (1 ) 1 1
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