第3章條件極值問題的變分法(16k)-展示頁
2025-01-18 07:45本頁面
【正文】 0),(0),(yxFyFyxFxFyx （ 31） 解 （ 31）式，可以求出相應的解 11,yx ，將 1x 與 1y 代入函數 ),( yxF 則可獲得函數的絕對極?。O大）值。顯然，這種帶有約束條件下求極值，相當于把所求范圍縮小了，如果存在有極值的話，那么，這個極值不是絕對極?。ɑ驑O大）值 ，而是相對值，它總大于（或等于）無條件時的極小值 ， 或總小于（或等于）無條件時的極大值。拉格朗日乘子法可以如此理解， ),( yxF 的極值條件可以寫成 0ddd ??????? yyFxxFF （ 32） 約束條件可以寫成 0),( ?? yx （ 33） 因此 （ 32）式中的 xd , yd 不是獨立的，而是由 （ 33）式的微分關系式 0dd ???????? yyxx （ 34） 連系著的。 如果用拉格朗日乘子法，可構造以下函數，如 31 ),(),(),( yxyxFyxF ?????? （ 37） 式中 ? 稱為拉格朗日乘子。 現在讓我們在約束條件 ?????????????0),(0),(0),(21212211nknnxxxxxxxxx????? （ 311） 下求函數 ),( 21 nxxxF ?? （ 312） 的極值，其中 nk? 。 ? ??? ??? ??????????? nj ki iijjiki ij xxxFF 1 11 dd][d （ 314） 由于 ijx?, 都是獨立變量，于是由 0d *?F ，得 ????????????????? ?? ),2,1(0),(),2,1(0211 kixxxnjxxFnijjkiij ??? （ 315） 這是求解 kn? 個變量的 kn? 個方程。 （ 312）式的變分極值要求 ?? ???? nj jj xxFF 1 0dd （ 316） 因為有 （ 311）式的 k 個約束條件，所以這些 jx 中只有 kn? 個是獨立的。這就證明了拉格朗日乘子法。 泛函在約束條件 ),2,1(0),( 21 kiyyyx ni ?? ??? 下的極值問題 泛函的條件極值問題與函數的條件極值問題處理方法完全相同。,(21 2121? ????? ?? （ 322） 在約束條件 )。我們把 jy 和 )(xi? 都看作是 泛函 ?? 的變量，所以 0??i 同樣也可以看作是 泛 函 ?? 的歐拉方程。首先求泛函 （ 322）式的變分，它經過分部積分（用端點給定不變的條件）可以寫成 33 ? ?? ???????? nj xx jjj xyyFxyF1 21 dδ)dd(δ （ 327） 注意到這里的 jyδ 不是獨立的，它是由約束條件 （ 323）連系著的。根據 （ 331）式，變分方程 （ 330）式中，剩下的變分項只有關系到 nkk yyy δδδ 21 ， ??? 等 kn? 項了。運用變分法預備定理后，得 0)(dd)(λ1 ?????????? ??ki jjiij yFxyxyF ),2,1( nkkj ???? （ 334） 將 （ 331）、 (334)兩式加在一起，便證明了 （ 326）式是正確的，即證明了上述定理。 對于泛函 xyyyyyyxFxx nn d),(21 2121? ????? ?? （ 335） 34 在約束條件 0),( 2121 ??
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