第十七章變分法-展示頁
2025-08-10 13:26本頁面
【正文】 極值 ． EL方程除了上面給出的形式 ()之外 ， 另外還有四種特殊情況： (1) 不顯含 且 因?yàn)? 若 EL方程等價于 （ ） (2) 不依賴于 且 則 EL方程化為 （ ） (3) 不依賴于 且 則 EL方程化為 （ ） 由此可見 僅為 的函數(shù)． (4) 關(guān)于 是線性的： 則 EL方程化為 （ ） 對于含有一個自變量，多個變量函數(shù)，以及有較高階變量 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的泛函，類似上面的推導(dǎo)可得如下結(jié)論： 2. 泛函表示為多個函數(shù)的積分形式 則與此泛函極值問題相應(yīng)的 EL方程為 （ ） 3. 泛函的積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù) 與此泛函極值問題相應(yīng)的 EL方程為 （ ） 設(shè) 為 的二元函數(shù)，則 與此泛函極值問題相應(yīng)的 EL方程為 （ ） 例 試求解最速降線落徑問題，即變分問題 【 解 】 目前，我們只能用間接方法來求解，由于 不顯含 ， 故其 EL方程為（ ）式 令 ，故有 令 ，分離變量得到 再令 ，代入上式得到 即得到 此即為擺線的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置 （圖 A,B兩點(diǎn)）決定． 在許多泛函的極值問題中，變量函數(shù)還受到一些附加條件 的限制，其中最常見和重要的一種是以 積分形式表示的限制 條件 （ ） 即所謂的 等周問題 ： () （ 注：這種問題之所以稱為等周問題，是因?yàn)樵跉v史上起源 于求一條通過兩點(diǎn)，長度固定為 l的曲線 使面積 取極大值） 其中 為常數(shù)．此類問題可以仿照普通函數(shù)的 條件極值問題的拉格朗日乘子法．即將附加條件 ()乘以 參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到 于是問題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問題． 其對應(yīng)的 EL方程為 這是通過 和 兩點(diǎn)的 之下使 泛函取極值的必要條件 ．它實(shí)際上是一個關(guān)于 在 附加條件（ ） 的二階常微分方程．其通解中含有三個參數(shù)，即 和兩個積分 常數(shù)．它們可由條件 （ ）來確定 . 和附加條件 例 求 的極值，其中 是歸一化的，即 ，且已知 【 解 】 本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題 對應(yīng)的 EL方程為 其通解為 代入附加條件 得到 代入歸一化條件得到 于是得到 ，故原極值問題的解為 而題中要求的泛函 的極值為 當(dāng) 時，極值函數(shù) 使得泛函數(shù)取得
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