第十七章變分法-資料下載頁
2024-08-10 13:26本頁面
【正文】 上是一個(gè)關(guān)于 在 附加條件（ ） 的二階常微分方程．其通解中含有三個(gè)參數(shù)，即 和兩個(gè)積分 常數(shù)．它們可由條件 （ ）來確定 . 和附加條件 例 求 的極值，其中 是歸一化的，即 ，且已知 【 解 】 本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題 對(duì)應(yīng)的 EL方程為 其通解為 代入附加條件 得到 代入歸一化條件得到 于是得到 ，故原極值問題的解為 而題中要求的泛函 的極值為 當(dāng) 時(shí)，極值函數(shù) 使得泛函數(shù)取得最小值 例 求泛函 在條件 下的極值曲線 . 【 解 】 此時(shí) ,則偏導(dǎo)數(shù) .對(duì)應(yīng)的 Euler方程為 其通解為 ,代入邊界條件可得 ,所以 極值曲線為 泛函極值問題的典型應(yīng)用 泛函極值問題的求解 ,通常有兩種結(jié)果： （ i）解析解 由變分法得到的 EL方程求解，一般來說，是很困難的． 但在分析力學(xué)中往往還是采用這一辦法來求解．因?yàn)闅v史悠 久，它自有一套辦法． （ ii）近似解 所謂近似解即由泛函本身出發(fā)，而不需求解 EL方程， 直接求得所需要的解 —— 極值曲線 因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法． 下面我們以一個(gè)典型的實(shí)例來描述泛函的極值問題在 數(shù)學(xué)物理問題中的應(yīng)用 . 例 假設(shè)大氣的光折射率 只依賴于高度 （ 1）利用費(fèi)馬（ Fermat）原理導(dǎo)出在大氣中光線軌跡的微 分方程； （ 2）設(shè)有一與水平成角度 的方向上拋出的球，如果 ，其中 被拋出多遠(yuǎn)？ 為常數(shù)，試求此球 【 解 】 （ 1） 根據(jù)費(fèi)馬原理 ：光線的實(shí)際路徑上，光程的變 分為零． （ ） 其中 為介質(zhì)中的光折射率， 元．上述問題也可表示為如下 泛函極值問題 ： 為沿光線進(jìn)行方向的路程 （ ） 由于 不顯含 ，根據(jù)公式 ()，可得首 次積分 （ ） 其中 為常數(shù)，若 為路徑的切線和鉛垂線所構(gòu)成 的角度，即 （ ） 若如果折射率 是位置的連續(xù)函數(shù)，這意味著 沿著路徑是一常數(shù)．若應(yīng)用到分界面上， 就得到 光學(xué)中的折射定律（ Snell’s law） （ ） 在大氣中光線軌跡的微分方程，由公式 ()得到 （ ） (2) 由題中條件和圖 ，定義球的軌跡的最高高度為 ，即 圖１７．２ 設(shè)球拋出的距離為 ，由公式（ ）得到 （ ） 故利用公式（ ），有 解得 （ ）
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