利用導數研究函數的性態(tài)畢業(yè)論文-wenkub
2023-01-31 10:41:10 本頁面
【正文】 求出函數的凹凸區(qū)間和拐點、列表。⑶考察函數是否有垂直漸近線、水平漸近線、,將漸近線求出來。⑷ 對具有實際意義的函數, 常用實際判斷原則確定最大(或小)值點. 上面已經討論了函數的升降與極值,函數與在區(qū)間,顯然都是嚴格增加的,但它們增加的方式不同. 定義1 設為定義在區(qū)間上的任意兩點和任意實數,總有,則稱為上的凸函數,反之,如果總有,則稱為上的凹函數. 定義2 設曲線在點()的一邊為上凸,一邊為下凸,則稱 ()為曲線的拐點.注 若()是曲線的一個拐點,在點的導數不一定存在,如在的情形. （拐點必要條件） 若()為拐點,則要么（1）；要么（2）在點不可導. 定理1 設函數在開區(qū)間是凸函數（凹函數）,且,有. 推論 若函數在開區(qū)間存在二階導數,⑴,有,則函數在區(qū)間上嚴格凸函數； ⑵,有,則函數在區(qū)間上嚴格凹函數. 定理2 設函數在開區(qū)間可導,函數在內是凸函數（凹函數）曲線位于它的任意一點切線. 若函數存在二階導數,討論函數得凹凸性和拐點可按下列步驟進行:第一步：求函數二階導函數；第二步：令,；第三步：判別在每個小區(qū)間的符號,設,由下表可知函數得凹凸性和拐點.c曲線上的點+(嚴凸)0（嚴凹）拐點（嚴凹）0+(嚴凸)拐點+(嚴凸)0+(嚴凸)非拐點（嚴凹）0（嚴凹）非拐點 例7 討論函數的凹凸性及其拐點. 解 函數的定義域是, ,：.列表如下：01+0_0+嚴凸拐點嚴凹拐點嚴凸顯然在與是嚴凸,. 注 若曲線的拐點,在的導數不一定存在. 定義 當曲線上動點沿著曲線無限遠移時,若動點到某直線的距離無限趨近于,則稱直線是曲線的漸近線. 曲線的漸近線包括三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線. 若,則是一條水平漸近線；又有,則也是一條（若,則當然只能算一條）.若存在,使（或）則是一條垂直漸近線,這樣的先由觀察法觀得,一般考慮分母為零處、對數的真數為零處. 是曲線的一條漸近線的充要條件是,.,即為水平漸近線. 例8 求的漸近線. 解 已知,.則是曲線的垂直漸近線.又有 .直線,即是曲線的漸近線.注 無窮區(qū)間的曲線具有什么樣的性質才是具有漸近線？由觀察不難得到以下的簡易判別法：設,當與都是連續(xù)函數時,若且,則直線是曲線的垂直漸近線.當是次多項式,是次多項式（）,若則曲線有斜漸近線。若不變號,則不是極值.、最小值問題 函數在某個連續(xù)區(qū)間上的最大（?。┲凳谴藚^(qū)間上的極大（?。┲导按藚^(qū)間端點的函數值中
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