導數(shù)在初等數(shù)學中的應用畢業(yè)論文-wenkub
2023-04-22 02:27:05 本頁面
【正文】 過程更簡單。下面就通過一些實例來談談導數(shù)在初等數(shù)學中的應用。這是由英國數(shù)學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在研究力學和幾何學過程中建立起來的。高中數(shù)學新課程打破先講極限后講導數(shù)的順序，直接通過實際背景和具體應用實例，即通過與社會生活聯(lián)系緊密的速度、膨脹率、增長率等變化率引入導數(shù)，旨在用導數(shù)反映的變化率研究初等函數(shù)的性質。2 研究導數(shù)在函數(shù)中的應用 導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的作用過去研究函數(shù)的單調性時，一般是根據增函數(shù)、減函數(shù)的定義來研究，即所謂的“定義法”，學習了導數(shù)以后就可以利用函數(shù)的一階導數(shù)的符號來研究函數(shù)的單調性，即“求導法”.求導法還可以比較簡單地確定函數(shù)的單調區(qū)間。 例3 求下列函數(shù)的單調區(qū)間： 1．； 2．； 3． 分析：為了提高解題的準確性，在利用求導的方法確定函數(shù)的單調區(qū)間 時，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導判斷符號，以避免不該出 現(xiàn)的失誤． 解：1．函數(shù)的定義域為R， 令，得或， ∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（－1，0）和； 令，得或， ∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為和（0，1）． 2．函數(shù)定義域為 令，得， ∴函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1）； 令，得， ∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（1，2）。一般地，函數(shù)在閉區(qū)間上可導，則在上的最值求法： (1) 求函數(shù)在上的極值點； (2) 計算在極值點和端點的函數(shù)值； (3) 比較在極值點和端點的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值。 例6 求函數(shù)在上的最大值和最小值。 例7 求函數(shù)的值域。例8 關于的方程有三個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ?。〢、（∞，1] B、（1，5） C、（1，5） D、（∞，1]∪[5，+∞）分析：首先設．求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據導數(shù)與單調區(qū)間的關系確定函數(shù)的單調區(qū)間，再分析可知圖象的大致形狀及走向，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程有三個不同的實根，求得實數(shù)的范圍。 解: ⑴ 略 ⑵(x)=3?9x+6=3(x?1)(x?2) ， 因為當x1時,(x)0 。 變式引申①若方程f(x)=0有且僅有兩個實根,求a的取值范圍y=f(x)草圖如下: y y1 2 x 1 2 x要使f(x)=0有且僅有兩個實根,必須且只需f(x)取得極大值 f(1)=0或f(x)取得極小值 f(2)=0 解得a=2， 變式引申②要使f(x)=0有且僅有三個實根, 求a的取值范圍 y=f(x)草圖如下 y 0 1 2 x要使f(x)=0有且僅有三個實根,必須且只需解得2從上題的解答我們可看出:用導數(shù)來探討y= f(x)圖像與x軸的交點問題,有以下幾個步驟:構造函數(shù)y= f(x)。解不等式或方程,得解。綜上所述，原命題成立。5 研究導數(shù)在恒等式的證明中的應用在初等數(shù)學中一類等式的證明，：推論1：在區(qū)間I上，若，則.推論2：在區(qū)間I上，若，則.：首先選擇 （或及），計算并檢驗（或），從而推出，再在待證的恒等式的未知數(shù)允許值內取某特殊值，從而確定常數(shù)C。 例14 求。事實上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關系，運用導數(shù)來解決數(shù)列的有關問題。 7 研究導數(shù)的幾何應用導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點的導數(shù)是曲線在點處的切線斜率．當，表示切線與軸正向夾角為銳角；當，表示切線與軸正向夾角為鈍角；當，表示切線與軸平行。解：根據求導法則，對兩邊分別對求導后有 ，∴ ，∴ ，由于 ， ∴，則在點
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