1了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系,能利用導數(shù)研究函數(shù)的單(參考版)
2024-09-05 15:21本頁面
【正文】 淄博模擬 )已知定義在 R上的函數(shù) f(x)＝ x2(ax－ 3)， 其中 a為常數(shù) . (1)若 x＝ 1是函數(shù) f(x)的一個極值點，求 a的值； (2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 (－ 1,0)上是增函數(shù)，求 a的取值 范圍； (3)若函數(shù) g(x)＝ f(x)＋ f′(x)， x∈ [0,2]，在 x＝ 0處取 得最大值，求正數(shù) a的取值范圍 . 解： (1)f(x)＝ ax3－ 3x2， f′(x)＝ 3ax2－ 6x＝ 3x(ax－ 2). ∵ x＝ 1是 f(x)的一個極值點， ∴ f′(1)＝ 0， ∴ a＝ 2； (2)①當 a＝ 0時， f(x)＝－ 3x2在區(qū)間 (－ 1,0)上是增函數(shù)， ∴ a＝ 0符合題意； a≠0時， f′(x)＝ 3ax(x－ )，令 f′(x)＝ 0得： x1＝ 0， x2＝ ； ②當 a＞ 0時，對任意 x∈ (－ 1,0)， f′(x)＞ 0， ∴ a＞ 0符合題意； 當 a＜ 0時，當 x∈ ( ,0)時， f′(x)＞ 0， ∴ ≤－ 1， ∴ － 2≤a＜ 0符合題意； 綜上所述， a≥－ 2. (3)a＞ 0， g(x)＝ ax3＋ (3a－ 3)x2－ 6x， x∈ [0,2]. g′(x)＝ 3a2＋ 2(3a－ 3)x－ 6＝ 3[ax2＋ 2(a－ 1)x－ 2]， 令 g′(x)＝ 0，即 ax2＋ 2(a－ 1)x－ 2＝ 0. (*) 顯然有 Δ＝ 4a2＋ 4＞ 0， 設方程 (*)的兩個根為 x1， x2，由 (*)式得 x1x2＝－ ＜ 0， 不妨設 x1＜ 0＜ x2. 當 0＜ x2＜ 2時， g(x2)為極小值， 所以 g(x)在 [0,2]上的最大值只能為 g(0)或 g(2)； 當 x2≥2時，由于 g(x)在 [0,2]上是單調遞減函數(shù)， 所以最大值為 g(0)， ∴ 在 [0,2]上的最大值只能為 g(0)或 g(2). 又已知 g(x)在 x＝ 0處取得最大值， 所以 g(0)≥g(2)， 即 0≥20a－ 24解得 a≤ . 又 ∵ a＞ 0， ∴ a∈ (0， ]. 。江蘇高考 )函數(shù) f(x)＝ x3－ 15x2－ 33x＋ 6的單調減區(qū) 間為 . 解析： f′(x)＝ 3x2－ 30x－ 33＝ 3(x2－ 10x－ 11) ＝ 3(x＋ 1)(x－ 11)0， 解得：－ 1x11，故減區(qū)間為 (－ 1,11). 答案： (－ 1,11) 5.(2020 ， AC＝ x km， BC＝ km， 且建在 C處的垃圾處理廠對城 A的影響度為 ，對城 B的影響度為 ， 因此，總影響度 y＝ ＋ (0＜ x＜ 20). 又因為垃圾處理廠建在弧 的中點時，對城 A和城 B的總影響度為 ， 所以 ＝ ， 解得 k＝ 9，所以 y＝ (0＜ x＜ 20). (2)因為 y′＝－ ＝ ＝ 由 y′＝ 0解得 x＝ 或 x＝－ (舍去 )，易知 ∈ (0,20). y、 y′隨 x的變化情況如下表： x (0, ) ,20) y′ － 0 ＋ y 極小值 由表可知，函數(shù)在 (0, )內單調遞減，在 ( ,20)內單調遞增， ∴ 當 x＝ 時 y取最小值為 y＝ ， 故在 上存在 C點，使得建在此處的垃圾處理廠對城 A和城B的總影響度最小，該點與城 A的距離 x＝ km. 導數(shù)是每年高考的必考內容，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求單調區(qū)間、極值、最值以及利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題是高考考查的常規(guī)內容 .09年遼寧高考將導數(shù)及其幾何意義與函數(shù)的單調性、三角、不等式證明等問題綜合考查，很好的考查了考生運用已有知識綜合分析問題并解決問題的能力，是高考命題的一個新方向 . [考題印證 ] (2020x ＝ 3600x－ ， ∴ 所求的函數(shù)關系式是 y＝－ ＋ 3600x(x∈ N*,1≤x≤40). (2)顯然 y′＝ 3600－ y′＝ 0，解得 x＝ 30. ∴ 當 1≤x30時， y′0；當 30x≤40時， y′0. ∴ 函數(shù) y＝－ ＋ 3600(x∈ N*,1≤x≤40)在 [1,30)上是單 調遞增函數(shù)，在 (30,40]上是單調遞減函數(shù) . ∴ 當 x＝ 30時，函數(shù) y＝－ ＋ 3600x(x∈ N*,1≤x≤40) 取得最大值，最大值為－ 303＋ 3600 30＝ 72020(元 ). ∴ 該廠的日產(chǎn)量為 30件時，日利潤最大，其最大值為 72020元 . (理 )(2020天津高考 )已知函數(shù) f(x)＝ (x2＋ ax－ 2a2＋3a)ex(x∈ R)，其中 a∈ R. (1)當 a＝ 0時，求曲線 y＝ f(x)在點 (1， f(1))處的切線的斜率； (2)當 a≠ 時，求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間與極值 . [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)當 a＝ 0時， f(x)＝ x2ex， f′(x)＝ (x2＋ 2x)ex，故 f′(1)＝ 3e. 所以曲線 y＝ f(x)在點 (1， f(1))
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