畢業(yè)設(shè)計論文-一階微分方程的初等解法(編輯修改稿)
2025-07-08 00:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 驗證 2 2 1 0uu? ? ? 即 2220Y XY X? ? ? 也就是（ 2）的解 .因此方程（ 1）的通解為 222 6 2y xy x y x c? ? ? ? ? 其中 c 為任意的常數(shù) . 2 線性微分方程與常數(shù)變易法 我們把一階線性方程通常寫成其標準形式： 6 ),()( xQyxPdxdy ?? （ ） 其中， )(),( xQxP 為連續(xù)函數(shù)，當(dāng) 0)( ?xQ 時，方程成為： ,)( yxPdxdy? （ ） 稱方程（ ）為方程（ ）對應(yīng)的齊次線性方程，而稱（ ）為非齊次線性方程 . 齊次線性方程（ ）是變量分離微分方程，可求其通解為： dxxPCey ?? )( （ ） 為了求（ ）的解，設(shè)想用兩個新的未知函數(shù) )()( xvxu 和 的乘積表示原來的未知函數(shù)，即： )()( xvxuy? （ ） 代入方程得 )()()()()()()()( xQxvxuxPdx xdvxuxvdx xdu ??? （ ） 將其整理得： )()()()()()()( xQxuxPdx xduxvdx xdvxu ??????? ?? （ ） 設(shè) )(xu 為齊次方程 0)()()( ?? xuxPdxxdu 的解 ?? dxxPexu )()( ，則方程變成 )()()( xQe dxxdvdxxP ?? （ ） 這是一個變量分離微分方程，很容易求得其 通解為 。 ? ??? ? CexQxv dxxP )()()( () 最后得到非齊次線性方程的通解 ?????? ???? ? CexQey dxxPdxxP )()( )( （ ） 以上這種方法被稱為常數(shù)變易法 例 4 求方程 25)1(1239。 ???? xx yy 的通解 . 解 : 這是一個非齊次線性方程 .先求對應(yīng)的齊次方程的通解 7 012 ??? x ydxdy， (1) 12??xdxydy， （ 2） Cxy ln)1ln (2ln ??? ， （ 3） 2)1( ?? xCy 用常數(shù)變易法 .把 C 換成 )(xu ，即令 2)1( ?? xuy ， （ 4） 則有 )1(2)1(39。 2 ???? xuxudxdy ， 代入（ 1）式中得 21)1(39。 ?? xu ， 兩端積分，得 Cxu ??? 23)1(32 . 再代入（ 4）式即得所求方程通解 ])1(32[)1( 232 Cxxy ???? . 另解 我們可以直接應(yīng)用（ ）式 ))(( )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? 得到方程的通解，其中， 12)( ??? xxP ， 25)1()( ?? xxQ 代入積分同樣可得方程通解 ])1(32[)1( 232 Cxxy ???? ， 此法較為簡便，因此，以后的解方程中，可以直接應(yīng)用（ ）式求解 形如 1,0,)()( ??? nyxQyxPdxdy n （ ） 的方程稱為伯努利方程 ， 將方程（ ）兩邊同時除以 ny ，方程變成 8 ).()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ?? 由于 ,)1(1dydyynnn ?? ?? 即 ny?1 關(guān)于 y的導(dǎo)數(shù)恰好為 ny? 的 1n（常數(shù)）倍，于是 ,1 11 1 11 dxdyndxdydydyndxdyy nnn ??? ???? 方程化為 ).()1()()1( 11 xQnyxPndxdy nn ???? ?? 令 ,1 nyz ?? 伯努利方程化為了線性方程 ).()1()()1( xQnzxPndxdz ???? 求得此線性方程的通解，代回原變量，就可得到伯努利方程的通解 .此外，如果 n0，則y=0顯然也是伯努利方程的解 例 5 解： 33dx yx y xdy ?? 這是 n=3 時的伯努利方程 . 兩邊同除以3x 得 3321 dx y yx dy x?? 令 2xz? ? 32dz dxxdy dy??? 322 2dz y ydy x? ? ?= 322yz y?? yyP 2)( ?? 32)( yyQ ?? 由一階線性方程的求解公式 223( 2 )y d y y d yz e y e d y c? ? ???? ? ?? = 223( 2 )yye y e dy c? ??? 331dydx xy x y? ? 9 = 22 1 yy ce?? ? ? 222( 1 ) 1yx y ce?? ? ? ? 2 2
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