常微分方程考研講義第三章一階微分方程解的存在定理(編輯修改稿)
2024-07-26 12:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 試證方程 經(jīng)過(guò)平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的. 證明 時(shí), ,在上連續(xù), 也在上連續(xù),因此對(duì)軸外的任一點(diǎn), 可得方程的通解為 ,其中為上半平面的通解, 為下半平面的通解,因此對(duì)軸上的任一點(diǎn),只有通過(guò),從而保證平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的. 但是 因?yàn)?故不可能存在,使得 所以方程右端函數(shù)在的任何鄰域并不滿足Lipschitz條件. 此題說(shuō)明Lipschitz條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件. 2)考慮一階隱方程 ()由隱函數(shù)存在定理,若在的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且,而,則必可把唯一地表為的函數(shù) ()并且于的某一鄰域連續(xù),且滿足如果關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),并且 ()顯然它是有界的,由定理1可知,方程().定理2 如果在點(diǎn)的某一鄰域中:ⅰ) 關(guān)于所有變?cè)B續(xù),且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；ⅱ）ⅲ）則方程（）存在唯一的解 （為足夠小的正數(shù)）滿足初始條件 （） 近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法——Picard的逐次逼近法 對(duì)方程的第次近似解和真正解在內(nèi)的誤差估計(jì)式 （）此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 設(shè)有不等式 成立,則 例1 討論初值問(wèn)題 , 解的存在唯一性區(qū)間,其中, .解 ,由于,根據(jù)誤差估計(jì)式() 就是所求的近似解,在區(qū)間上,.167。2 解的延拓上節(jié)我們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng)?shù)挠叶撕瘮?shù)在上滿足解的存在性唯一性條件時(shí)，初值問(wèn)題的解在上存在且唯一. 但是，這個(gè)定理的結(jié)果是局部的，也就是說(shuō)解的存在區(qū)間是很小的. 可能隨著的存在區(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例1，當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)闀r(shí)，解的范圍縮小為. 在實(shí)際引用中，我們也希望解的存在區(qū)間能盡量擴(kuò)大，下面討論解的延展概念，盡量擴(kuò)大解的存在區(qū)間，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的.飽和解及飽和區(qū)間定義1 對(duì)定義在平面區(qū)域上的微分方程 ()設(shè)是方程()定義在區(qū)間上的一個(gè)解,如果方程()還有一個(gè)定義在區(qū)間上的另一解,且滿足 (1) ；但是 （2）當(dāng)時(shí)，則稱是可延拓的，,則稱是方程()的不可延拓解或飽和解,此時(shí)把不可延拓解的區(qū)間稱為一個(gè)飽和區(qū)間.局部李普希茲條件定義2 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)內(nèi)每一點(diǎn)，都存在以點(diǎn)為中心，完全含在內(nèi)的閉矩形域，使得在上關(guān)于滿足李普希茲條件（對(duì)于不同的點(diǎn)，閉矩形域的大小和李普希茲常數(shù)可能不同），則稱在上關(guān)于滿足局部李普希茲條件.定理3 （延拓定理）如果方程的右端函數(shù)在（有界或無(wú)界）區(qū)域上連續(xù)，且在關(guān)于滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任意一點(diǎn)，方程以為初值的解均可以向左右延展，直到點(diǎn)任意接近區(qū)域的邊界.以向增大的一方來(lái)說(shuō)，如果只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)時(shí)，趨于區(qū)域的邊界。
外語(yǔ)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1