常微分方程考研講義第三章一階微分方程解的存在定理(更新版)
【正文】 從而 所以,對,有 對于區(qū)間,令,并記,則方程()變?yōu)? 而且已知它有解和.類似可得因此, 兩邊開平方即得().利用此引理我們可以證明解對初值的連續(xù)依賴性： 解對初值的連續(xù)依賴定理 假設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部李普希茲條件，如果，初值問題有解，它于區(qū)間上有定義(),則對任意， ，使得當(dāng)時(shí),方程()滿足條件的解在區(qū)間上也有定義，并且有 .證明 記積分曲線段是平面上一個(gè)有界閉集.第一步:找區(qū)域,使,而且在上關(guān)于滿足Lipschitz條件.由已知條件,對,存在以它為中心的開圓,根據(jù)有限覆蓋定理,可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓(不同的,其半徑和Lipschitz常數(shù)的大小可能不同),它們的全體覆蓋了整個(gè)積分曲線段,令,則,對,記,則以上的點(diǎn)為中心,以為半徑的圓的全體及其邊界構(gòu)成包含的有界閉域,且在上關(guān)于滿足Lipschitz條件, Lipschitz常數(shù)為.第二步:證明，使得當(dāng)時(shí),解在區(qū)間上也有定義.由于是一個(gè)有界閉域,且在其內(nèi)關(guān)于滿足Lipschitz條件,由解的延拓定理可知, ,由引理有 利用的連續(xù)性,對,必有存在,使當(dāng)時(shí)有,取,則當(dāng)時(shí)就有 ()于是對一切成立,特別地有 ,即點(diǎn)和均落在域的內(nèi)部,這與假設(shè)矛盾,故解在區(qū)間上有定義.第三步 證明.在不等式（）中將區(qū)間換成，可知當(dāng)時(shí)，就有 .根據(jù)方程解對初值的連續(xù)依賴定理及解對自變量的連續(xù)性有解對初值的連續(xù)性定理若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部李普希茲條件,則方程() 的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.證明 對,方程()過的飽和解定義于上,令 下證在上連續(xù).對,使解在上有定義,其中.對,使得當(dāng)時(shí), 又在上對連續(xù),故,使得當(dāng)時(shí)有 取,則只要就有 從而得知在上連續(xù).解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理 討論含有參數(shù)的微分方程 () 如果對，都存在以為中心的球，使得對任何，成立不等式 其中是與無關(guān)的正數(shù)，對每一，方程（）通過點(diǎn)的解是唯一確定的，記這個(gè)解為.設(shè)在內(nèi)連續(xù),且在內(nèi)關(guān)于一致地滿足局部的李普希茲條件, 是方程()通過的解,在區(qū)間上有定義,其中,則對,使得當(dāng) 時(shí),方程()通過點(diǎn)的解在區(qū)間上也有定義,并且 解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在關(guān)于一致地滿足局部李普希茲條件,則方程() 的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的. 解對初值的可微性定理如果函數(shù)以及都在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則對初值問題的解作為 的函數(shù)，在它有定義的范圍內(nèi)有連續(xù)可微的.證明 由在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，可知在內(nèi)關(guān)于滿足局部Lipschitz條件，根據(jù)解對初值的連續(xù)性定理，在它的存在范圍內(nèi)關(guān)于是連續(xù)的.下面證明函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)的任一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)...即 于是 類似有 即 是初值問題 的解，.根據(jù)解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理 的解,容易得到..類似上述方法可證是初值問題 其中具有性質(zhì):所以有 .故 例1已知方程為試求，.解：方程右端函數(shù)在平面內(nèi)連續(xù)，且也在平面內(nèi)連續(xù)，且其滿足的解為.于是，.
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