常微分方程考研講義第三章一階微分方程解的存在定理-文庫(kù)吧資料
2025-07-05 12:44本頁面
【正文】 3. 理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。第三章 一階微分方程解的存在定理[教學(xué)目標(biāo)]1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。2. 了解解的延拓定理及延拓條件。[教學(xué)重難點(diǎn)] 解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。[教學(xué)時(shí)間] 12學(xué)時(shí)[教學(xué)內(nèi)容] 解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明。，解對(duì)初值的連續(xù)性及可微性公式。 167。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。因此初值問題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。例如方程 過點(diǎn)的解就是不唯一，易知是方程過的解，此外，容易驗(yàn)證，或更一般地，函數(shù) 都是方程過點(diǎn)而且定義在區(qū)間上的解，其中是滿足的任一數(shù)。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。1．存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程 （）這里是在矩形域： （）上連續(xù)。2） 構(gòu)造近似解函數(shù)列 任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)，使得，替代上述積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，又用替代積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到 （）于是得到函數(shù)序列.3） 函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于，即 存在，對(duì)()取極限,得到 即.4) 是積分方程在上的連續(xù)解.這種一步一步求出方程解的方法——,分五個(gè)命題來證明定理. 為了討論方便,只考慮區(qū)間,對(duì)于區(qū)間的討論完全類似.命題1 設(shè)是方程()定義于區(qū)間上,滿足初始條件 （）的解,則是積分方程 ().證明 因?yàn)槭欠匠?)滿足的解,于是有 兩邊取到的積分得到 即有 所以是積分方程定義在區(qū)間上的連續(xù)解.反之,如果是積分方程()上的連續(xù)解,則 （）由于在上連續(xù),從而連續(xù),兩邊對(duì)求導(dǎo),可得 而且 ,故是方程()定義在區(qū)間上,且滿足初始條件的解.構(gòu)造Picard的逐次逼近函數(shù)序列. （）命題2 對(duì)于所有的，（）中的函數(shù)在上有定義，連續(xù)且滿足不等式 （）證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí)，顯然在上有定義、連續(xù)且有 即命題成立. 假設(shè)命題2成立，也就是在上有定義、連續(xù)且滿足不等式 當(dāng)時(shí)，
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