【正文】 yyd s i n2)( ???積分后得 : ,c o s2)( yy ??故 .c o s2),( yyxeyxu x ???從而方程的通解為 .c o s2 cyyxe x ???分組湊微法 采用 “ 分項組合 ” 的方法 ,把本身已構(gòu)成全微分的項分出來 ,再把余的項湊成全微分 . 應(yīng)熟記一些簡單二元函數(shù)的全微分 . 如 ?? x d yy d x??2yx dyy dx??? 2xx dyy dx),( xyd),(yxd),(xyd???22 yxx dyy dx??xyx dyy dx???22 yxx dyy dx|) ,|( lnyxd),( a r c t a nyxd).( ln21yxyxd??例 求方程 0)46()63( 3222 ???? dyyyxdxxyx 的通解 . 解 : 2 2 2 3( , ) 3 6 , ( , ) 6 4 ,M x y x x y N x y x y y? ? ? ?這 里( , ) 12M x y xyy? ??所 以故所給方程是恰當(dāng)方程 . 把方程重新“分項組合”得 0)66(43 2232 ????? y d yxdxxydyydxx即 0)33( 222243 ???? dyxdxydydx或?qū)懗? 0)3( 2243 ??? yxyxd故通解為 : 。 ( ) ( )x p y x q y??那 么 上 式 形 如 ： 的 線 性 微 分 方 程24111( ) ,4pdyp y d y d y q e d y y y d y y cy?? ? ? ? ?? ? ? ?因 　 　43 1111 1 1( ) ( )44p d y p d y cx e q e d y c y c yyy? ??? ? ? ? ? ??于 是 由 公 式 得4 14 ( 4 )xy y c c c? ? ?或 　 　 21dx x y x yd y y??即 ， 將 看 作 是 的 函 數(shù)4 104 ( 4 ) | 1 1xxy y c c c y c?? ? ? ? ? ?通 解 為 ： 。 ( 1 )ux??得 　 　 　 　例 用常數(shù)變易法求一階線性方程通解 s inc os xdy y x edx???解：齊次方程通解： c o s s i nx d x xy C e C e? ????用常數(shù)變易法，令 s i n() xy C x e ??s i n s i n( ) c o s ( )xxy C x e x C x e????? ? ?代入原方程得 s i n s i n() xxC x e e??? ?即 ()C x x C??故通解為 s i n() xy x C e ???30( ) 0|1xy d x x y d yy ?? ? ? ?? ??例 　 求 方 程 特 解 ：解：若將方程寫為 339。( 1 ) 2 ( 1 )y u x u x? ? ? ?2339。 01yy x???、 求 的 通 解21dy dxyx? ?2ln | | 2 ln ( 1 ) ln ln | | ln ( 1 )y x c y c x? ? ? ? ?　 即 　 　2( 1 )y c x??通 解 為 　解 ： 22 ( 1 )y u x??、 設(shè) 是 原 方 程 的 解 ， 則239。( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ?? ? ?? ? ?P x dxy u x e u x()( ) ( 1 ) ( ( ) ) ( *)? ??設(shè) 　 　 是 的 解 其 中 待 定 　 － 　將 y 和 代入（ 1）： y?齊次方程通解 非齊次方程特解 ?? xxPCe d)( xexQe xxPxxP d)( d)(d)( ?? ????????? ?? ?? ?? CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(?y即 ( ) 0,y p x y? ??1. 對 于 一 階 線 性 分 離 變齊 次 方 程 量 法 解 得() ()p x d xy c e c? ?? 為 任 意 常 數(shù)y P x y Q x( ) ( )? ??非 齊 次 微 分求 一 階 線 性 的方 程 解 的 方 法 :2. 常 數(shù) 變 易 法 求 相 應(yīng) 非 齊 次 方 程 的 解 , 設(shè) 其 解 為 :()( ) ( )p x d xy u x e u? ?? 為 待 定 函 數(shù)3. 代 入 原 非 齊 次 微 分 方 程 解 得 其 通 解 為P x d x P x d xy e Q x e d x cc( ) ( )( ( ) ())? ???? ? 為 任 意 常 數(shù)3239。39。 39。 ( ) ( ) ??即 P x d xu x Q x e d x c()( ) ( ) ( * )????所 以 　 ， 代 入 得 P x d x P x d xy Q x e d x c e( ) ( )( ( ) ) ( 1 )??????所 以 　 方 程 的 通 解 P x d x P x d x P x d xy Q x e d x e c e( ) ( ) ( )( ( ) ) ??? ? ????或 　 上述解方程的方法，叫做 常數(shù)變易法 ，用于求解線性非齊次方程。 非線性的 . 線 性 ： 關(guān) 于 未 知 函 數(shù) 及 其 導(dǎo) 數(shù) 都 是 一 次 的yy ?齊次線性 方程 0)( ??? yxPy (1) )()( xQyxPy ??? (2) 方程 (1)的任意兩個解 的 和仍是 (1)的解； 方程 (1)的任意一個解的常數(shù)倍仍是 (1)的解； 方程 (1)的任意一個解加上方程 (2)的任意一個解是 (2)的解； 方程 (2)的任意兩個解之差是 (1)的解 . 線性方程解的性質(zhì) 非齊次線性 方程 .??? yYy設(shè) )( xy ? 是方程 (2) 的一個特解 , )( xY 是 ( 1) 的通解 , 那么方程 (2)的通解為 設(shè) )(),( 21 xyxy ?? 分別是非齊次方程 則 )()( 21 xyxy ?? ? 為非齊次方程 )()( 1 xfyxpy ???的特解 , 線性方程解的 疊加性質(zhì) 和 )()(2 xfyxpy ???)()()( 21 xfxfyxpy ????的一個特解 . .0)(dd ?? yxPxy,d)(d xxPyy ?? ,d)(d ?? ?? xxPyyl n | | ( ) d l n ,y P x x C? ? ??齊次方程的通解為 .e d)(?? ? xxPCy1. 線性齊次方程 一階線性微分方程的 解法 使用分離變量法 這里記號 ? xxP d)( 表示 )( xP 的某個確定的原函數(shù) . dy Q x dx P x y dx( ) ( )??d y Q x d x P x d xyy() ()??形式求積： Qxy d x P x d xy()ln ( )???? ()()() ( ) 1Qx dxP x d xP x d xyy e e u x e? ?? ? ??? 記 為 （ ） 的 形 式 解形式求解的結(jié)果給了我們重要啟示： 若方程有解，其解必 () ( ) 。 ??????? 00),(yyyxfyxx一階 : 二階 : ????????????? 00 00 ,),(yyyyyyxfyxxxx過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線 . 初值問