一階常微分方程初等解法畢業(yè)論文doc(編輯修改稿)
2025-07-21 01:37 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ,展示了初等解法在解題過(guò)程中的應(yīng)用.1預(yù)備知識(shí)1. 1 變量分離方程形如 , ()的方程,稱(chēng)為變量分離方程,分別是,.如果,我們可將()改寫(xiě)成,得到,()的解. 恰當(dāng)微分方程將方程,寫(xiě)成微分的形式,得到,或把,平等看待,寫(xiě)成下面具有對(duì)稱(chēng)形式的一階微分方程 , 如果方程的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,即,則稱(chēng)方程就是恰當(dāng)微分方程. 積分因子如果存在連續(xù)可微函數(shù),使得為一恰當(dāng)微分方程,即存在函數(shù),使,則稱(chēng)為方程的積分因子.2基本方法, 的方程,稱(chēng)為變量分離方程,分別是,.如果,我們可將改寫(xiě)成,這樣,得到 . 這里我們把積分常數(shù)明確寫(xiě)出來(lái),而把, 分別理解為,如無(wú)特別聲明,以后也做這樣理解.,還必須尋求的解,當(dāng)不包括在方程的通解中時(shí),必須補(bǔ)上特解形如,的方程,稱(chēng)為奇次微分方程,這里是的連續(xù)函數(shù).作變量變換,即,于是.代入原方程可得,整理后,得到 . ,然后代回原來(lái)的變量,即可得到原方程的解形如, 的方程不可直接進(jìn)行變量分離,但是可以經(jīng)過(guò)變量變換后化為變量分離方程,這里,,均為常數(shù).可分為三種情況來(lái)討論:(常數(shù))的情形這時(shí)方程可化為,有通解,其中為任意常數(shù). 的情形.令,這時(shí)有.是變量分離方程及不全為零的情形因?yàn)榉匠逃叶朔肿?分母都是的一次多項(xiàng)式,因此代表平面上兩條相交的直線(xiàn),設(shè)交點(diǎn)為,若令則方程可化為從而方程變?yōu)橐虼?求解上述變量分離方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.的情形此時(shí)直接變換即可一階線(xiàn)性微分方程其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù),若,方程變?yōu)榉Q(chēng)其為一階齊次線(xiàn)性微分方程,易求得它的通解為這里是任意常數(shù).現(xiàn)在討論非齊次線(xiàn)性方程的通解的求法.不難看出,是特殊情形,兩者既有聯(lián)系又有差別,因此可以設(shè)想它們的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系而又有差別,現(xiàn)試圖利用方程的通解的形式去求出方程的通解,顯然,如果中恒保持為常數(shù),使它滿(mǎn)足方程,從而求出
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1